标签：二分 洛谷 log PA2019 区间 Podatki 随机 权值 集合
首先点分治，对于重心为 \(x\) 的连通块，我们用主席树维护出 \(x\) 到连通块内每个点所组成的数，具体来说，主席树上下标为 \(1\) 的位置存储将权值转成 \(n\) 进制后 \(n^1\) 位上的值，下标为 \(2,3,\cdots,n\) 位上的值同理。这样显然我们可以通过主席树上二分在 \(\log n\) 的时间内比较两个 \(n\) 位 \(n\) 进制数的大小。然后我们将该连通块内所有权值存到一个系数 \(1\) 的集合内，然后再将所有属于以 \(x\) 为根的同一子树内的所有权值存到一个系数为 \(-1\) 的集合内，这样相当于一个数 \(X\) 的出现次数就是对于所有集合，计算集合内有多少对数和等于 \(X\)，乘上集合的系数再求和。
二分答案。check 是容易的，直接在每个集合内进行 two pointers 即可，由于集合大小总和是 \(n\log n\) 的，而比较大小是 \(\log n\) 的，所以单次 check 是两只 log 的，现在比较麻烦的地方在于，值域是 \(n^n\) 的，因此直接二分需要进行 \(n\) 次二分，实在不能接受。不过需要认识到一个清醒的事实，我们二分的对象只有 \(n^2\) 个，有什么方法使得二分次数达到 \(\log n\) 呢？一个很直接的想法是二分排名然后根据排名推回对应的数，不过这不就是原问题吗（笑），显然不可行，这时有个 trick：随机二分，即在对应区间中等概率随机一个 \(mid\) 将区间分成两半，那么又该怎样等概率呢？每次二分到一个区间 \([l,r]\)，我们先将所有集合中的元素打乱到一起并排序，对于每个权值 \(X\)，我们找到权值在 \([l-X,r-X]\) 中的权值组成的区间，这显然是可以 two pointers 的。然后对这些区间进行带权随机，即将区间长度为随机的权随机出左边的部分，然后再在对应区间中随机出右边的部分。
时间复杂度 \(n\log^3n\)。
标签：二分,洛谷,log,PA2019,区间,Podatki,随机,权值,集合 来源： https://www.cnblogs.com/ET2006/p/luogu-P5984.html
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