题目
题目描述
小A最近开始沉迷买彩票，并且希望能够通过买彩票发家致富。已知购买一张彩票需要3元，而彩票中奖的金额分别为1,2,3,4元，并且比较独特的是这个彩票中奖的各种金额都是等可能的。现在小A连续购买了n张彩票，他希望你能够告诉他至少能够不亏本的概率是多少。
输入描述
一行一个整数N，为小A购买的彩票数量一行一个整数N，为小A购买的彩票数量一行一个整数N，为小A购买的彩票数量
输出描述
输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。
若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。输出一个最简分数a/b，表示小A不亏本的概率。若概率为1，则输出1/1，概率为0，则输出0/1。
示例1
输入
2
输出
3/8
备注
\(0 \leq n \leq 30\)
题解
知识点：线性dp。
设 \(dp[i][j]\) 表示第 \(i\) 次获得 \(j\) 元的概率。因为要输出分数，老样子先乘上个基数，这里取 \(4^n\) 比较合适，因为最多 \(n\) 次都除 \(4\) 。
注意边界条件，\(j\) 的范围是 \([i,4i]\) 。每次至少得到 \(1\) 元，因此上一轮总金额 \(j-k\) 至少大于等于 \(i-1\) 。
转移方程：
\[dp[i][j] = \sum_{k=1}^{4} \frac14 dp[i-1][j-k] ,j-k\geq i-1 \]考虑优化空间，由于转移只和上一层有关，可以考虑压缩成一维。
时间复杂度 \(O(n^2)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll dp[127];
ll gcd(ll a, ll b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n;
cin >> n;
ll base = 1LL << (2 * n);
dp[0] = base;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
for (int j = 4 * i;j >= i;j--) {
dp[j] = 0;///因为是累加莫忘初始化
for (int k = 1;k <= 4;k++)
if (j - k >= i - 1) dp[j] += dp[j - k] / 4;///大于等于i因为上一层最小是i-1
}
}
ll ans = 0;
for (int i = 3 * n;i <= 4 * n;i++)
ans += dp[i];
ll d = gcd(ans, base);
cout << ans / d << '/' << base / d << '\n';
return 0;
}
标签：输出,概率,int,ll,NC23413,彩票,dp 来源： https://www.cnblogs.com/BlankYang/p/16573359.html
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