标签：typedef frac int 题解 sum mu AGC038C include LCMs
\(i\) 和 \(j\) 不对称很烦，求 \(\sum_i\sum_j\mathrm{lcm}(A_i,A_j)\) 再减去 \(\sum_i A_i\) 再除 \(2\) 即可得到答案。现在来考虑 \(i\) 和 \(j\) 取值均为 \(0\sim N-1\) 的式子：
\[\begin{aligned} &\sum_i\sum_j\mathrm{lcm}(A_i,A_j) \\ =&\sum_i\sum_j\frac{A_iA_j}{\gcd(A_i,A_j)} \\ =&\sum_d\frac{1}{d}\sum_i\sum_j A_iA_j[\gcd(A_i,A_j)=d] \end{aligned} \]\([\gcd(A_i,A_j)=d]\) 我们束手无策，但 \([\gcd(i,j)=d]\) 我们熟能生巧
于是考虑定义域与值域互换的技巧，也就是令 \(B_i\) 为 \(i\) 在 \(A\) 中的出现次数，则有：
\[\begin{aligned} &\sum_{d}\frac{1}{d}\sum_{d|i}\sum_{d|j}B_iB_jij[\gcd(i,j)=d] \\=&\sum_{d}\frac{1}{d}\sum_{i,j}B_{id}B_{jd}ijd^2\sum_{e|i,e|j}\mu(e) \\=&\sum_{d}d\sum_e\mu(e)\left(\sum_{e|i}B_{id}i\right)^2 \\=&\sum_{d}d\sum_e\mu(e)\left(\sum_{de|i}B_{i}\frac{i}{d}\right)^2 \\=&\sum_{d}\frac{1}{d}\sum_e\mu(e)\left(\sum_{de|i}B_{i}i\right)^2 \end{aligned} \]然后发现最后面那个括号里面的可以预处理，称其为 \(f\)，令 \(s=de\)，枚举 \(s\) 再枚举 \(d\) 得到：
\[\begin{aligned} \sum_s f(s)\sum_{d|s}\frac{1}{d}\mu(\frac{s}{d}) \end{aligned} \]发现后面依然是两个数论函数的狄利克雷卷积，设其为 \(g\)，也可以预处理出。
令 \(m=\max(A)\)，\(f,g\) 的预处理暴力实现均为 \(\mathcal{O}(m\log m)\)．
不难发现 \(f\) 实际上是 \(B_ii\) 作狄利克雷后缀和，\(g\) 则是 \(\frac{1}{i}\) 和 \(\mu\) 作卷积，相当于对 \(\frac{1}{i}\) 作狄利克雷前缀差分。
于是均可以做到 \(\mathcal{O}(m\log \log m)\) 的复杂度。
在写这篇博客时暂且跑到了洛谷最优解。
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n';
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
#define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline void read(int& r){
r=0;bool w=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
r=w?-r:r;
}
const int N=1000010;
const int mod=998244353;
int gcd(int a,int b){
return !b?a:gcd(b,a%b);
}
inline void cadd(int &x,int y){
x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);
}
inline void cdel(int &x,int y){
x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);
}
int qpow(int x,int y){
int s=1;
while(y){
if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
x=1ll*x*x%mod;
y>>=1;
}
return s;
}
int n,mx,fac[N];
int vis[N],mu[N];
int f[N],g[N];
int ans;
vi pr;
void init(){
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=mx;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
g[mx]=qpow(fac[mx],mod-2);
for(int i=mx-1;~i;--i)g[i]=1ll*g[i+1]*(i+1)%mod;
for(int i=1;i<=mx;i++)g[i]=1ll*g[i]*fac[i-1]%mod;
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=mx;i++){
if(!vis[i]){
pr.pb(i);
mu[i]=-1;
}
for(auto j:pr){
if(i*j>mx)break;
vis[i*j]=1;
if(i%j==0)break;
mu[i*j]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=mx;i++)
if(mu[i]==-1)
mu[i]=mod-1;
}
signed main(){
#ifdef do_while_true
// assert(freopen("data.in","r",stdin));
#endif
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;read(x);++f[x];cmax(mx,x);cdel(ans,x);
}
init();
for(int i=1;i<=mx;i++)f[i]=1ll*f[i]*i%mod;
for(auto x:pr)
for(int i=mx/x;i;i--)
cadd(f[i],f[i*x]),
cdel(g[i*x],g[i]);
for(int i=1;i<=mx;i++)f[i]=1ll*f[i]*f[i]%mod;
for(int i=1;i<=mx;i++)
cadd(ans,1ll*f[i]*g[i]%mod);
cout << 1ll*ans*499122177%mod << '\n';
#ifdef do_while_true
cerr<<'\n'<<"Time:"<<clock()/CLOCKS_PER_SEC<<" ms"<<'\n';
#endif
return 0;
}
标签：typedef,frac,int,题解,sum,mu,AGC038C,include,LCMs 来源： https://www.cnblogs.com/do-while-true/p/16552714.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。