标签:int cdot UOJ351 端点 集合 直径 include
新年的叶子
题目描述
解法
首先有一个经典结论:树的直径有且仅有一个绝对中心(可以是某个点,可以是某条边的中点),证明可以考虑反证法,如果存在多个中心那么一定可以生成更长的直径。
可以先确定这个绝对中心,考虑如果绝对中心是边的中点,那么会把可能的直径端点划分成两个集合;如果绝对中心是点,那么会把可能的直径端点划分为若干个集合。从不同的集合中选出直径端点就可以构成直径。
所以问题转化成:给定若干个集合,求只剩一个集合还没被染完的期望步数。考虑计算出所有染色排列的总代价,除以方案数就得到了答案。考虑如果还剩 \(i\) 个点没染色,那么有效染色的期望步数是 \(\frac{n}{i}\)
设所有的直径端点数是 \(m\),可以预处理 \(f_i=\sum_{i=1}^m \frac{n}{i}\) 方便计算代价。设当前考虑的集合大小为 \(k\),结束时这个集合还剩下 \(p\) 个点,那么这种情况的贡献为:
\[\frac{1}{m!}\cdot A(k,p)\cdot [(m-p)!-(m-p-1)!\cdot (k-p)]\cdot(f_m-f_p) \]中间减法的含义为:最后一次染色不能染到当前考虑的集合,要不然会算重,所以把这种情况减去。
时间复杂度 \(O(n)\)
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 500005;
#define int long long
const int MOD = 998244353;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,ans,rt,mx,cnt,p[M],a[M];
int f[M],fac[M],inv[M];vector<int> g[M];
void init(int n)
{
fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=(f[i-1]+n*inv[i])%MOD;
for(int i=1;i<=n;i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%MOD;
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
}
void dfs(int u,int fa,int d)
{
if(d>mx) mx=d,rt=u;
for(int v:g[u]) if(v^fa)
p[v]=u,dfs(v,u,d+1);
}
void work(int u,int fa,int d,int c)
{
if(d==mx/2) a[c]++,m++;
for(int v:g[u]) if(v^fa)
work(v,u,d+1,c);
}
signed main()
{
n=read();
for(int i=1;i<n;i++)
{
int u=read(),v=read();
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
m+=(g[i].size()==1);
init(m);m=0;
dfs(1,0,0);mx=0;dfs(rt,0,0);
if(mx&1)//edge
{
int x=rt,y=0;cnt=2;
for(int i=1;i<=mx/2;i++) x=p[x];
y=p[x];work(x,y,0,1);work(y,x,0,2);
}
else//node
{
int x=rt;
for(int i=1;i<=mx/2;i++) x=p[x];
for(int v:g[x])
cnt++,work(v,x,1,cnt);
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=1;j<=a[i];j++)
{
int w=fac[m-j]-fac[m-j-1]*(a[i]-j);
w=w%MOD*(f[m]-f[j])%MOD;w=(w+MOD)%MOD;
ans=(ans+inv[m]*fac[a[i]]%MOD*inv[a[i]-j]%MOD*w)%MOD;
}
printf("%lld\n",ans);
}
标签:int,cdot,UOJ351,端点,集合,直径,include 来源: https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/16550180.html
本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享; 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除; 5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。