标签：frac 积性 题解 sum hdu7186 sqrt aligned

题面

根据唯一质数分解定理可得，一个正整数 \(n=\prod_{i=1}^k p_i^{c_i}\) ，设

\[f(n)=\frac{n}{\prod_{i=1}^k c_i} \]

给定 \(n\) ，求：

\[\sum_{i=1}^n f(i) \]

数据范围：\(n\le 10^{12}\) 。

题解

数论好题！从没碰到过的类型！

首先要注意到 \(f(n)\) 是一个积性函数，碰到积性函数的前缀和，可能会想到杜教筛，但是这个式子一点都不寻常，找不到一个好求前缀和的 \(g\) 使 \(f*g\) 也好求。

怎么办？

这时候题解告诉你，注意到 \(f(p)=p\) （以下称 \(p\) 为任意一个质数），我们可以通过构造出 \(g,h\) 使 \(g*h=f\) 。

而且为了好算，我们就让 \(g=id\) 。

至于你问我为什么，我们只能说题解告诉我的。

然后拆我们可以拆 Dirichlet卷积 的式子：

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n(g*h)(i)=&\sum_{i=1}^n\sum_{j|i}g(\frac{i}{j})h(j)\\ =&\sum_{i=1}^nh(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}g(j)\\ =&\sum_{i=1}^nh(i)\frac{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor+1)}{2} \end{aligned} \]

这时候我们直接求每一个 \(h(i)\) 也不行，所以现在我们要考虑 \(h\) 到底是什么东西，

等等，真的不能算出每一个 \(h(i)\) 吗？

注意到 \(f(p)=p\) ，而 \(g(p)=p\) ，所以 \(f(p)=p=g(p)h(1)+g(1)h(p)\) ，所以 \(h(p)=0\) ！

又因为 \(h\) 也是积性函数，所以只要 \(n\) 存在一个质因数指数为 \(1\) ，那么 \(h(n)=0\) ！

然后题解证明，在 \(1\sim n\) 中，这样的数的个数是 \(O(\sqrt n)\) 的！

所以有值的 \(h(n)\) 只有 \(O(\sqrt n)\) 个！

那么我们就可以考虑暴力求出每一个 \(h(n)\) ，然后就可以得到答案。

现在考虑怎么求\(h(n)\)，也就是考虑怎么求 \(h(p^k)\) 。

因为

\[\begin{aligned} f(p^k)&=\sum_{i=0}^kh(p^i)p^{k-i}\\ &=p\sum_{i=0}^{k-1} h(p^i)p^{k-1-i}+h(p^k)\\ &=pf(p^{k-1})+h(p^k) \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} h(p^k)&=f(p^k)-pf(p^{k-1})\\ &=\frac{p^k}{k}-\frac{p^k}{k-1}\\ &=-\frac{p^k}{k(k-1)} \end{aligned} \]

这样一下来，我们就可以求出所有 \(h(n)\) 来了。

复杂度是 \(O(\sqrt n)\) 的。

启发

• 对于一个积性函数，只要其 \(f(p)=p\) ，我们都可以往这个方向上想。

标签：frac,积性,题解,sum,hdu7186,sqrt,aligned
来源： https://www.cnblogs.com/qwq-123/p/16548826.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。