标签：局面 approx Nim Sprague win 必胜 Grundy SG
【博弈论】SG(Sprague–Grundy)定理证明和Nim游戏正确性证明
网上好像都是引用的维基，或者证的很不严谨
这里提供一个稍微严谨一点的证明，SG的部分基本上参考了维基 （自己想过，没想出来www）
要转载的话随便转载，就是不知道这垃圾玩意有没有转载的必要啊
定义
公平组合游戏，Nim游戏
满足如下条件的游戏被称为公平组合游戏：
- 两人轮流操作
- 如果有人不能操作，那么他就输了
- 对于当前状态，可以做的决策只与状态有关，和哪个人操作无关
Nim游戏：有 \(n\) 堆石子，二人轮流操作，每人可以在某堆中任意取若干个，但不能不取。如果某人不能取了那么它就输了。
常见的棋类就不是公平组合游戏，因为你不可以动别人的棋子。但Nim就是公平组合游戏，因为任何一方都可以拿任何一堆中的石子。
描述一个局面
对于一个局面，我们其实只关心它能到达哪些局面，因此我们用集合来描述一个局面，集合中包含它能到达的后继局面。 （因此你如果要展开这个集合，你会看到很多集合套集合）。如果它没有后继局面（即无法操作），我们用空集描述它。
特殊地，我们记 \(*n\) 表示一堆含有 \(n\) 个石子的Nim局面。容易发现 \(*n=\{*0,*1...*(n-1)\}\)，是一个递归的结构。如果要展开就会变成集合套集合。
比如 \(*4=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\)。
对于一个局面，如果是先手必胜，我们说它是 \(N\) 的，否则就是 \(P\) 的。
关于胜负情况，好像没有找到相关的函数描述。这里我们用 \(win(S)\) 表示局面 \(S\) 的胜负情况，其值为 \(P\) 或者 \(N\)。
判定局面的胜负性：
- 如果当前局面可以到达 至少一个 \(P\) 局面，那当前是 \(N\) 局面
- 如果当前局面后继 全部都是 \(N\) 局面，那当前是 \(P\) 局面
局面间的关系
局面的和：对于两个局面 \(S,S'\)，定义 \(S+S'\) 表示：现在同时进行 \(S\) 和 \(S'\) 两个游戏，两边都不能操作就算输，这样的一个局面。如何描述它呢？
很明显，如果你要走一步，要么走 \(S\) 的一个后继，要么走 \(S'\) 的一个后继。比如说你走了 \(S\) 的后继 \(s\)，那接下来就是 \(s\) 和 \(S'\) 两个游戏同时进行，是一个子结构。另一边同理。因此我们可以写出这样的定义式：
\(S+S'=\{s+S'|s\in S\}\cup\{S+s'|s'\in S'\}\)
把它递归展开就可以得到 \(S+S'\) 局面的集合表达了。当然，这一般只用于给出形式化的定义，实际上不会用，因为复杂度爆炸。当我们需要考虑两个局面相加时，通常我们是根据意义来理解这件事情，想象发生了什么，并描述出关系，而不会用它来暴力展开。比如说你可以很容易发现，局面的相加满足交换律和结合律。
局面的等价性：通常在我们研究问题的过程中，如果有两个东西，把一个换成另一个不会影响问题，我们就说它俩等价
局面的等价怎么描述？如果根据输赢，你会发现，只要 \(n>0\)，\(*n\) 就是 \(N\) 的。但显然我们很有必要关心每一堆里具体有多少石子。因此只根据输赢描述肯定不行。
我们发现问题出在把局面组合起来的时候。因此我们这样描述：对于局面 \(G,G'\)，\(\forall H,win(G+H)=win(G'+H)\) （这里的等于是指输赢情况相等），则我们说 \(G\) 和 \(G'\) 等价，记作 \(G\approx G'\)。
SG 定理
SG 定理是说，对于每个局面 \(S\)，都存在恰好一个 \(n\) 使得 \(S\approx *n\)。并且 \(n\) 的值为所有 \(S\) 的后继状态 \(n\) 值的 mex。这个 \(n\) 值就是 \(SG\) 函数的值 \(SG(S)\)。
SG 的另一个性质是，若 \(S=A_1+A_2...+A_n\)，则 \(SG(S)=SG(A_1)\oplus SG(A_2)\oplus...\oplus SG(A_N)\)，其中 \(\oplus\) 为 Nim 和，也就是我们熟悉的异或和。关于这个的证明：首先使用 SG 定理，然后参考【Nim游戏的正确性证明】，得到它是对的。这个放在 SG 定理证明的后面。
证明
引理1
对于一个 \(P\) 的局面 \(A\) 和任意局面 \(G\)，\(G\approx G+A\)。
对于任意 \(H\)，需要满足 \(win(G+H)=win(G+H+A)\)。分类讨论。
如果 \(win(G+H)=P\)，那么 \(win(G+H+A)\) 一定也是 \(P\)。为什么呢？整个局面可以看成 \((G+H)+A\)，由两个后手必胜的局面组成。无论先手在哪个部分操作，后手都可以用对应的必胜策略来应对。两边后手都不会输，因此总局面也一定是后手必胜。
如果 \(win(G+H)=N\)，那么 \(win(G+H+A)\) 一定也是 \(N\)。同样分成 \(G+H\) 和 \(A\) 两部分，\(G+H\) 是先手必胜的，先手按必胜策略在这里操作一步后，就形成两个先手必败的局面给后手。按照上一种情况中的讨论可知，操作完这一步后的先手（即原来的后手）必败。 那也就是原来的先手必胜，就是
引理2
\(win(G+G')=P \iff G\approx G'\)
考虑 \(G+G+G'\)。
一方面它等于 \((G+G)+G'\)。发现 \(G+G\) 一定是后手必胜的，因为后手可以和先手做对称的操作，只要先手能走，后手就一定能走，后手永远不会输。因此它是一个 \(P\) 的局面 \(+G'\)，根据引理1知它等价于 \(G'\)
另一方面它等于 \(G+(G+G')\)，由于 \(G+G'\) 是 \(P\) 的，所以它等价于 \(G\)。
从而 \(G\approx G+G+G'\approx G'\)。
前置知识：结构归纳法
结构归纳法可以看成是数学归纳法在DAG上的拓展：我们先说明一些命题是对的，然后命题之间存在依赖关系（无环），对于每个依赖关系证明：若前置命题对，则某命题对，从而推得所有命题都对。
数学归纳法可以看成是对一条退化成链的DAG进行结构归纳法
SG定理的证明
我们使用结构归纳法证明：首先没有后继状态的局面等价于 \(*0\)，然后对于局面 \(S\)，我们证明：如果它的后继中SG定理成立，那么 \(S\) 中SG定理成立。
即，设：对于局面 \(S=\{S_1,S_2...S_k\}\)，假设 \(S_1,S_2...S_k\) 都等价于一些单堆 Nim 游戏，设它们为 \(*n_1,*n_2...*n_k\)，那么存在 \(m\) 使得 \(S\approx *m\)，并且我们知道 \(m=mex\{n_1,n_2...n_k\}\)
显然 \(S\approx S'=\{*n_1,*n_2...*n_k\}\)。 考虑证明 \(S'\approx *m\)。
根据引理2，这件事情等价于 \(win(S'+*m)=P\)。分类讨论
- 假设先手在 \(S'\) 中操作，走到了 \(*x\)。若 \(x<m\)，显然后手可以在 \(*m\) 中也走到 \(*x\)，变成两个相同局面同时进行，显然是后手必胜。如果 \(x>m\)，那么后手可以继续在 \(*x\) 中操作，走到 \(*m\)，又变成两个相同局面，后手必胜。
- 假设先手在 \(*m\) 中操作，走到了 \(*x\)，那显然后手就在 \(S'\) 中走，走到 \(*x\)，后手必胜
综上，\(win(S'+*m)=P\)，从而 \(S'\approx *m\)。又因为 \(S\approx S'\)，从而 \(S\approx *m\)。
Nim游戏正确性证明
我们知道，取 \(a_i\) 的异或和，大于 \(0\) 就是先手必胜，为 \(0\) 就是后手必胜。
我们使用数学归纳法证明。设命题 \(P(k)\) 表示：当 \(\sum a_i\le k\) 时，结论成立。
显然 \(P(0)\) 成立，因为此时 \(a_i\) 一定全 \(0\)，异或和为 \(0\)，后手胜。
下证： 当 \(P(k-1)\) 成立时， \(P(k)\) 成立。
设此时 \(a_i\) 的异或和为 \(x\)。分类讨论：
若 \(x>0\)，设 \(x\) 二进制最高位为 \(2^p\) 位。那么一定有至少一个 \(a_i\)，它的 \(2^p\) 位为 \(1\)。我们把 \(a_i\) 变成 \(a_i\oplus x\)，那么 \(a_i\) 比 \(p\) 高的位不变，\(p\) 位上由 \(1\) 变成 \(0\)，不管后面怎么变 \(a_i\) 都会变小。这样一来，所有 \(a_i\) 的异或和变成了 \(0\)，并且和一定 \(<k\)。根据 \(P(k-1)\) 成立，此时的 \(a_i\) 的后手必胜。也就是说原来的 \(a_i\) 先手必胜。
若 \(x=0\)，无论先手如何操作，和都会变小，并且异或一定会变成一个非 \(0\) 的数。（将 \(a\) 变成 \(a'<a\)，异或和变化为 \(a\oplus a'\)，当且仅当 \(a'=a\) 时它可以为 \(0\)，由于 \(a'<a\)，因此它一定不为 \(0\)）根据 \(P(k-1)\) 成立，此时的 \(a_i\) 先手必胜，也就是原来的 \(a_i\) 后手必胜。
综上，\(P(k-1)\) 成立时，\(P(k)\) 成立。
证明概括
SG：你发现一个SG值和单堆Nim唯一的不同在于它可以变大，但是变大的话你显然可以再变回来，所以和单堆Nim等价
Nim：你发现你找一个最高位重合的异或一下就可以把非0的异或和变成0，并且异或和为0时无论如何都会变成非0
标签：局面,approx,Nim,Sprague,win,必胜,Grundy,SG 来源： https://www.cnblogs.com/LightningUZ/p/16548523.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。