用完全背包解决求极大无关组个数问题

2022-08-02 22:00:49 阅读：107 来源： 互联网

 原题：https://www.acwing.com/problem/content/534/
1 532. 货币系统
 2  
 3 
 4 在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。
 5 
 6 为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1..n] 的货币系统记作 (n,a)。 
 7 
 8 在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。
 9 
10 然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。
11 
12 例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。 
13 
14 两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。 
15 
16 现在网友们打算简化一下货币系统。
17 
18 他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。
19 
20 他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。
21 
22 输入格式
23 输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。
24 
25 接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 
26 
27 每组数据的第一行包含一个正整数 n。
28 
29 接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。
30 
31 输出格式
32 输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。
33 
34 数据范围
35 1≤n≤100,
36 1≤a[i]≤25000,
37 1≤T≤20
38 输入样例：
39 2 
40 4 
41 3 19 10 6 
42 5 
43 11 29 13 19 17 
44 输出样例：
45 2
46 5

理解题意,前面大段的是无关内容，最重要的是：

很明显了，这不就是线性代数中的求极大无关组个数吗？

即：a数组与b数组之间可以相互表示，b是a的极大无关组

即要在a数组中找到不被数组中任何元素表示出的元素

由于这里系数只能为非负数，所以，一个元素只能被其小于的元素表示

所以我们先排一个序（从小到大），问题就变成了

由对于a[i]是否能够由a[1],a[2].....a[i-1]（无限个）组成，即是否 a[i]=k1*a[1]+k2*a[2]+...ki-1*a[i-1](其中k不全为0);

如果这样写会超时：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110;
int t;
int main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        int a[N], n;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        sort(a + 1, a + n + 1);
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) //判断这数是否要选
        {
　　　　　　　　//超时原因在这里,我们可以发现我们浪费了很多已经算过的
　　　　　　　　//每次还有再算一遍

            bool dp[25010];
            memset(dp, false, sizeof(dp));
            dp[0] = true;
            for (int j = 1; j <= i - 1; j++)
            {
                for (int k = a[j]; k <= a[i]; k++)
                {
                    dp[k] |= dp[k - a[j]];
                }
            }
            if (!dp[a[i]])
                ans++;
        }

        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

其实for(int j=1;j<=i-1;j++)这个for循环可以省略，

写成：

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstring>
 4 using namespace std;
 5 const int N = 110;
 6 int t;
 7 int main()
 8 {
 9     cin >> t;
10     while (t--)
11     {
12         int a[N], n;
13         cin >> n;
14         for (int i = 1; i <= n; i++)
15             cin >> a[i];
16         sort(a + 1, a + n + 1);
17         int ans = 0;
18         bool dp[25010];
19         memset(dp,false,sizeof(dp));
20         dp[0]=true;
21         for (int i = 1; i <= n; i++) 
22         {
23             if (dp[a[i]])
24                 continue;
25             ans++;
26             for (int j = a[i]; j <= a[n]; j++)
27             {
28                 dp[j] |= dp[j - a[i]];
29             }
30         }
31         cout << ans << endl;
32     }
33     return 0;
34 }

标签：背包,非负,int,系统,个数,无关,货币,include,dp
来源： https://www.cnblogs.com/cilinmengye/p/16545333.html

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