标签：limits LibreOJ LOJ 题解 交换 满足 集合 矩形 逆序

题面

如果只能交换相邻两项，那么答案就是排列的逆序对数。

现在我们就是要求交换两个数，使得交换后的排列逆序对数最少。

不难发现我们一定不会交换满足 \(i<j,h_i<h_j\) 的 \((i,j)\)，因为这样只会让逆序对变多。

考虑怎么刻画减少的逆序对：

• \((i,j)\)；
• 满足 \(i<k<j,h_k<h_i\) 的 \((i,k)\)；
• 满足 \(i<k<j,h_k>h_j\) 的 \((k,j)\)。

如果我们把每一个位置看出一个二维平面上的点 \((i,h_i)\)，那么后两类减少的逆序对就可以很好地被刻画为 $2\times $ 以 \((i,h_i)\) 为左上角、\((j,h_j)\) 为右下角的矩形内部（不算边界）的点的数量。

所以我们就要找到一个包含点数最多的矩形。

容易想到被另一个矩形包含的矩形一定不优，也就是说我们的左上角只会选择满足 \(h_i=\max\limits_{a=1}^i h_a\) 的 \((i,h_i)\)（设所有满足该条件的点组成的集合为 \(L\)）、右下角只会选择满足 \(h_j=\min\limits_{b=j}^n h_b\) 的 \((j,h_j)\)（设所有满足该条件的点组成的集合为 \(R\)），这个可以 \(O(n)\) 直接求出。

发现这样似乎还是不太好做，考虑换一种想法：求覆盖一个点的点数最多的矩形。

由于 \(L\) 和 \(R\) 中的 \(h\) 随着 \(i\) 的增大而增大，那么对于一个点 \((k,h_k)\)，我们可以二分找到 \(L\) 集合中第一个纵坐标 \(>h_k\) 的点 \((l,h_l)\) 和 \(R\) 集合中最后一个纵坐标 \(<h_k\) 的点 \((r,h_r)\)，则所有左上角的横坐标在 \([l,k-1]\) 区间内、右下角的横坐标在 \([k+1,r]\) 区间内的矩形都会覆盖这个点。

那么就可以转化成二维数点问题，扫描线即可。

代码：https://paste.ubuntu.com/p/Wz6g4Rvxzq/。

标签：limits,LibreOJ,LOJ,题解,交换,满足,集合,矩形,逆序
来源： https://www.cnblogs.com/xsl19/p/loj535_sol.html

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