标签：frac LGP5136 sqrt beta 消掉 alpha 根号

配一个 \((\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\)。为什么不是 \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)？因为根号难处理需要消掉：

\[f_n=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \]

考虑把两边的 GF 都扒出来，设 \(\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)：

\[F(x)=\frac{1}{1-\alpha x}+\frac{1}{1-\beta x}=\frac{1}{1-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta x^2} \]

代入后可以得到

\[F(x)=\frac{1}{1-x-x^2} \]

注意到 \(|\beta|<1\)，也就是说答案相当于 \(F(x)\) 的某次项系数加上或减去 \(1\)。

\(F(x)\) 显然是一个常系数齐次线性递推数列，于是能够做到 \(O(T\log n)\)。

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来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/16505448.html

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