标签：一元 lim frac infty epsilon sum 数学题 delta 逆天
\(设函数f(x)在\)\(x=0处连续\)，\(并且lim_{x \to 0}{\frac{f(2x)-f(x)}{x}}=A\),\(求证:f^{'}(0)存在，且\)\(f^{'}(0)=A。\)
\[lim_{x \to 0}{\frac{f(2x)-f(x)}{x}}=A \]
- \(因为\)
\[A-\epsilon<{\frac{f(2x)-f(x)}{x}}<A+\epsilon \]
- \(所以对任意\epsilon ，存在\delta,使得当x\in (-\delta,\delta)时，\)
\[A-\epsilon<{\frac{f(\frac{1}{2^{k-1}}x)-f(\frac{1}{2^k}x)}{\frac{1}{2^k}x}}<A+\epsilon \]\[\frac{1}{2^k}x(A-\epsilon)<f(\frac{1}{2^{k-1}}x)-f(\frac{1}{2^k}x)<\frac{1}{2^k}x(A+\epsilon) \]
- \(令x_k = \frac{1}{2^k}x,因为x_k \in (-\delta,\delta),所以\)
\[\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}x(A-\epsilon)<\sum_{k=1}^{+\infty}f(\frac{1}{2^{k-1}}x)-f(\frac{1}{2^k}x)<\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}x(A+\epsilon) \]
- \(累加求和\)
\[(A-\epsilon)x<f(x)-f(0)<(A+\epsilon)x \]\[A-\epsilon<\frac{f(x)-f(0)}{x}<A+\epsilon \]
- \(因为\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=1，\sum_{k=1}^{+\infty}f(\frac{1}{2^{k-1}}x)-f(\frac{1}{2^k}x)=f(x)-f(0) (要利用连续性)，所以\)
\[lim_{x \to 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x}}=f^{'}(0)=A \]
- \(所以\)
标签：一元,lim,frac,infty,epsilon,sum,数学题,delta,逆天 来源： https://www.cnblogs.com/ANJHZ/p/16479920.html
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