标签：lceil Last cf1325 int sqrt dep dfs Ehab rceil

题意：

给定一个无向连通图，你需要解决以下两个问题之一：

• 1364D：

1. 找出一个大小为 \(\lceil \frac k2\rceil\) 的独立点集
2. 找出一个大小不超过 \(k\) 的环

• 1325F：

1. 找出一个大小为 \(\lceil \sqrt n\rceil\) 的独立点集
2. 找出一个不小于 \(\lceil \sqrt n\rceil\) 的环

独立点集中，任意两点没有边直接相连

保证没有重边和自环

思路：

• 1364D：

随便找一个不可分割的环（即环中任意不相邻的两点间没有路径），若此环大小不超过 \(k\) 则输出，否则隔一个输出。怎么找这种环呢？

考虑 dfs树，若某点有后向边（back edge），取端点最小的那条后向边即可。因为是无向图而且一旦找到后向边就结束了，所以没有前向边（都成了后向边）和横叉边

当然如果图中无环，那就是一棵树，隔层取点即可

一个性质，但对这题似乎没什么用：

设最小的环大小为 \(m\)，则环中任意不相邻的两点间必没有边直接相连。

证明：设环中有不相邻的两点，它们在环中的距离为 \(d_1,d_2\)，则 \(d_1+d_2=m\)

因为不相邻所以 \(d_1,d_2\ge 2\implies d_1,d_2\le m-2\)

若这两点间有边直接相连，那么就会形成新的环，大小为 \(d_1+1\le m-1\) 比最小的环还小，故矛盾。所以这两点间不可能有连边。证毕。

int st, ed; //环的起点终点
int p[N]; //父亲
int d[N]; //深度
void dfs(int u) {
    if(!st) { //还没找到环，试着找一下
        for(int v : G[u]) if(v != p[u])
            if(d[v] > d[st]) st = v, ed = u;
    }

    for(int v : G[u]) if(!d[v]) //正常dfs
        p[v] = u, d[v] = d[u] + 1, dfs(v);
}

void sol() {
    cin >> n >> m >> k;
    while(m--) {
        int x, y; cin >> x >> y;
        G[x].pb(y), G[y].pb(x);
    }

    d[1] = 1; dfs(1);

    //输出答案比较繁琐，但没难度，建议别看
    int need = (k+1)/2;
    if(!st) { //树
        cout << 1 << endl;
        vector<int> tr[2]; //染色找答案
        function<void(int,int,int)> f = [&](int u,int fa,int dep) {
            tr[dep].pb(u);
            for(int v : G[u]) if(v != fa)
                f(v, u, dep^1);
        };
        f(1, 0, 0);
        if(tr[1].size()>tr[0].size()) swap(tr[0],tr[1]);
        for(int i = 0; need; i++)
            cout << tr[0][i] << ' ', need--;
    }
    else {
        vector<int> ring; ring.pb(ed); //找出环
        while(ed != st) ring.pb(ed=p[ed]);
        if(ring.size() <= k) { //环大小不超过k
            cout << 2 << endl << ring.size() << endl;
            for(int i : ring) cout << i << ' ';
        }
        else {
            cout << 1 << endl;
            for(int i = 0; need; i += 2)
                cout << ring[i] << ' ', need--;
        }
    }
}

• 1325F：

考虑 dfs树，如果一个点 \(u\) 有不少于 \(\lceil \sqrt n\rceil-2\) 条后向边（注意连父亲的不算），那么必有一条后向边的终点 \(v\) 使得 \(dep_u-dep_v+1\ge \lceil \sqrt n\rceil\)，即找到一个大于等于 \(\lceil \sqrt n\rceil\) 的环。

否则，一定能找出独立点集。可以用下面两种方法之一说明

法一：每个点最多有 \(\lceil \sqrt n\rceil-3\) 条后向边。每次选一个未被ban的点 \(u\)，满足 \(u\) 的子树中的点要么被选了要么被ban了。现在选 \(u\)，那么 \(u\) 的父亲和所有后向边的终点会被ban，于是每选一个点最多会使 \(\lceil \sqrt n\rceil-2\) 个点被ban，所以能找到至少 \(\lceil \frac{n}{\lceil \sqrt n\rceil-1}\rceil\ge \lceil \sqrt n\rceil\) 个独立点。为了写码方便，从每个dfs分支中最深的点选起即可

法二：对 \(u\) 的所有后向边，不存在 \(dep_u-dep_v+1 = \lceil \sqrt n\rceil\) 即 \(dep_u-dep_v=\lceil \sqrt n\rceil-1\) 的点。那么可以按深度对 \(\lceil \sqrt n\rceil-1\) 的余数把所有点划分为同余集。由抽屉原理，必有一集合大小不小于 \(\lceil \frac{n}{\lceil \sqrt n\rceil-1}\rceil\)

int p[N], d[N], st, ed; //环的起点终点
bool ban[N]; //不能选
void dfs(int u) {
    for(int v : G[u]) if(v != p[u] && d[v]) //找环
        if(d[u]-d[v]+1 >= k) st = v, ed = u;

    for(int v : G[u]) if(!d[v]) //正常dfs
        p[v] = u, d[v] = d[u] + 1, dfs(v);
    
    if(!ban[u]) for(int v : G[u]) ban[v] = true; //选独立点集
}

void sol() {
    cin >> n >> m;
    while(m--) {
        int x, y; cin >> x >> y;
        G[x].pb(y), G[y].pb(x);
    }

    k = ceil(sqrt(n))+0.5;
    d[1] = 1; dfs(1);

    //输出答案
    if(st) {
        cout << 2 << endl << d[ed]-d[st]+1 << endl;
        cout << ed; //找出环
        while(ed != st) cout << ' ' << (ed=p[ed]);
    }
    else {
        cout << 1 << endl;
        for(int i = 1; k; i++) if(!ban[i])
            cout << i << ' ', k--;
    }
}

标签：lceil,Last,cf1325,int,sqrt,dep,dfs,Ehab,rceil
来源： https://www.cnblogs.com/wushansinger/p/16469558.html

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