标签：ch int 平面图 403 swap && AcWing define
平面图
首先介绍一下平面图的相关性质：
若图 \(G\) 能被画在平面上且不同的边仅在端点处相交，则称图 \(G\) 为平面图。画出的没有边相交的图称为 \(G\) 的平面表示或平面嵌入。
一个图的平面嵌入会将整个平面划分成若干个互不连通的区域，每个区域称为一个面。
其中，无界的区域称作外部面，反之称为内部面。包围某个面的所有边构成了该面的边界。
通过球极投影可以发现内部面外部面本质一样。
欧拉公式
对于一个连通的平面嵌入 \(G\)，它的点数 \(V\) ，边数 \(E\)，面数 \(F\) 满足：
\[V - E + F = 2 \]推广可得 \(C\) 个连通块满足：
\[V − E + F = C + 1 \]通过欧拉公式，我们可以得到：
对于一个简单的连通的平面嵌入 \(G\)，若 \(V ≥ 3\)，则满足 \(E ≤ 3V − 6\)。
证明：
\(G\) 中每个面的边界上至少有三条边，同时，每条边与两个面相邻，因此满足关系：\(2E\geq 3F\)。
代入欧拉公式即证毕。
本题分析
我们挖掘一下两条边之间约束关系：
记哈密顿路径的顺序（时间戳）为 \(dfn\)，\(a, b\) 为一条边两个点的时间戳，\(c,d\) 为另一条边两个点的时间戳，不妨设 \(a<c\)，那么画在数轴上就是：
-------------
| |
------------ |
↓ ↓ ↓ ↓
-------a-----c-----b-----d-------
当 \(c\in(a, b) ~ \cap ~ b\in (c, d)\) 上时两条边必须分居哈密顿环的内侧、外侧。
这个关系正好可以使用并查集来刻画。
题目有 \(2-SAT\) 的标签，但事实上不需要使用缩点，因为这个约束关系可以看作是无向图的边，用并查集维护即可。
注意到本题的边的范围很大，但是根据平面图的性质我们可以先筛掉 \(E > 3V − 6\) 的情况，这样边的数量就足够支持 \(O(n^2)\) 的枚举了。
实现
// Problem: 平面
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/405/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define debug(x) cerr << #x << ": " << (x) << endl
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dwn(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define x first
#define y second
using pii = pair<int, int>;
using ll = long long;
inline void read(int &x){
int s=0; x=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-')x=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0' && ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0',ch=getchar();
x*=s;
}
const int N=6006;
int n, m;
pii e[N];
int dfn[N];
int f[N<<1];
int find(int x){
return x==f[x]? x: f[x]=find(f[x]);
}
signed main(){
int cs; cin>>cs;
while(cs--){
cin>>n>>m;
int cntm=0;
rep(i,1,m) read(e[i].x), read(e[i].y), cntm+=(e[i].x!=e[i].y);
rep(i,1,n){
int u; read(u);
dfn[u]=i;
}
if(n>=3 && cntm>3*n-6){
puts("NO");
continue;
}
rep(i,1,m<<1) f[i]=i;
rep(i,1,m) rep(j,i+1,m){
auto [a, b]=e[i];
auto [c, d]=e[j];
if(a==b || c==d) continue;
a=dfn[a], b=dfn[b], c=dfn[c], d=dfn[d];
if(a>b) swap(a, b);
if(c>d) swap(c, d);
if(a>c) swap(a, c), swap(b, d);
if(b>c && b<d && c>a && c<b){
f[find(i+m)]=find(j);
f[find(j+m)]=find(i);
}
}
bool ok=true;
rep(i,1,m) ok&=(find(i)!=find(i+m));
puts(ok? "YES": "NO");
}
return 0;
}
标签：ch,int,平面图,403,swap,&&,AcWing,define 来源： https://www.cnblogs.com/Tenshi/p/16466551.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。