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2021 东南赛高一组试题

2022-07-10 11:33:38  阅读:173  来源: 互联网

标签:AC ABC triangle 数列 BC dfrac 赛高 2021 试题


老师发的画质糊得不行,用 \(\LaTeX\) 打一下可能会好一点。

\(\rm Day\ 1\):

1.  已知单调递减正数列 \(\{a_n\}\) 满足:\(a_1=\dfrac{1}{2}\),当 \(n\le 2\) 时,

\[a_n^2(a_{n-1}+1)+a_{n-1}^2(a_n+1)-2a_na_{n-1}(a_{n}a_{n-1}+a_n+1)=0 \]

   (1)求数列 \(\{a_n\}\) 的通项;

   (2)记 \(S_n\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和。证明:\(\ln\left(\dfrac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln\left(n+1\right)\).

2.  如图,在 \(\triangle ABC\) 中,\(AB=AC>BC\),点 \(O,H\) 分别为 \(\triangle ABC\) 的外心,垂心,\(G\) 为线段 \(AH\) 的中点,\(BE\perp AC\) 于点 \(E\).
  证明:若 \(OE\ \ /\kern -0.8em /\ \ BC\),则 \(H\) 为 \(\triangle GBC\) 的内心。

3.  给定奇质数 \(p\) 和整数序列 \(u_n,n>0\),定义数列 \(v_n=\sum\limits_{i=0}^nC_n^ip^iu_i,n\ge 1\).
  证明:若有无穷多个 \(n\) 满足 \(v_n=0\),则对所有的正整数 \(n\),\(v_n=0\)。

4.

标签:AC,ABC,triangle,数列,BC,dfrac,赛高,2021,试题
来源: https://www.cnblogs.com/zhouyuhang114/p/16462852.html

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