矩阵快速幂

2022-07-07 13:36:05 阅读：253 来源： 互联网

一般做矩阵快速幂的时候，是需要“把母矩阵和一个答案矩阵相乘赋值给答案矩阵”这个操作执行 \(n\) 次。这时我们可以使用矩阵快速幂优化这个过程。

传入参数的时候不引用，就不会改变母矩阵本身的值，可以重复利用。

一般为了方便会把矩阵的大小固定下来，如果 \(2\times 2\) 的矩阵乘 \(2\times 1\)的矩阵，大小不一致会很麻烦，用 \(0\) 把第二个矩阵补上变成都是 \(2 \times 2\) 的，不会影响矩阵对应位置的数字，只需要记录矩阵长=宽 \(matn=2\) 即可。

时间复杂度 \(O(\log n \times matn^3)\)。

P3390

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define cl(i, n) i.clear(),i.resize(n);
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = 1e9;
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
struct mat {
    int n;
    ll a[110][110];
}a;
mat mul(mat a, mat b) {
    mat ret;
    ret.n = a.n;
    memset(ret.a, 0, sizeof(ret.a));
    f(i, 1, ret.n) {
        f(j, 1, ret.n) {
            f(k, 1, ret.n) {
                ret.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
                ret.a[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return ret;
}
mat qpow(mat a, ll k) {
    mat ret;
    ret.n = a.n;
    memset(ret.a, 0, sizeof(ret.a));
    f(i, 1, ret.n) {
        ret.a[i][i] = 1;
    }
    while(k) {
        if(k & 1) ret = mul(a, ret);
        a = mul(a, a);
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    ll n, k; cin >> n >> k;
    a.n = n;
    f(i, 1, n) f(j, 1, n) cin >> a.a[i][j];
    a = qpow(a, k); 
    f(i, 1, n) f(j, 1, n) cout << a.a[i][j] << " \n"[j == n];
    return 0;
}

将一维 DP 转移式换成矩阵形式然后快速幂可以把 \(n\) 带个 \(\log\)。比如：

CF185A

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define cl(i, n) i.clear(),i.resize(n);
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = 1e9;
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
struct mat {
    ll a[110][110];
}a;
mat mul(mat a, mat b) {
    mat ret;
    memset(ret.a, 0, sizeof(ret.a));
    f(i, 1, n) {
        f(j, 1, n) {
            f(k, 1, n) {
                ret.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
                ret.a[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return ret;
}
mat qpow(mat ret, ll k) {
    while(k) {
        if(k & 1) ret = mul(a, ret);
        a = mul(a, a);
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    n = 2; ll k; cin >> k;
    
    memset(a.a, 0, sizeof(a.a));
    a.a[1][1] = a.a[2][2] = 3; a.a[1][2] = a.a[2][1] = 1;
    mat b;
    memset(b.a, 0, sizeof(b.a));
    b.a[1][1] = 1;
    b = qpow(b, k); cout << b.a[1][1] << endl;
    return 0;
}

ABC258Ex

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define cl(i, n) i.clear(),i.resize(n);
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = 1e9;
const ll mod = 998244353;
ll n; ll s;
ll a[100010];
ll matn = 2;
struct mat {
    ll a[5][5];
}fir,sec;
ll x;  //记录第一个的下标
//f(0)=0,f(1)=1
//f(a_i)=f(a_i-1)+f(a_i-2),f(a_i+1)=f(a_i-1)
//f(s)=f(s-1)+f(s-2),...
//算到f(a_i-1)和f(a_i-2)
//正常用f(a_(i-1))和f(a_(i-1)+1)推矩阵快速幂
mat mul(mat aa, mat bb) {
    mat ret;
    memset(ret.a, 0, sizeof(ret.a));
    f(i, 1, matn) {
        f(j, 1, matn) {
            f(k, 1, matn) {
                ret.a[i][j] += aa.a[i][k] * bb.a[k][j];
                ret.a[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return ret;
}
mat qpow(mat aa, mat bb, ll k) {
 //   cout << k << endl;
    while(k) {
        if(k & 1) aa = mul(bb, aa);
        bb = mul(bb, bb);
        k >>= 1;
    }
    return aa;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    cin >> n >> s;
    f(i, 1, n)cin>>a[i];
    memset(fir.a, 0, sizeof(fir.a));
    memset(sec.a, 0, sizeof(sec.a));
    fir.a[1][2] = fir.a[2][1] = fir.a[2][2] = 1;
    sec.a[1][2] = sec.a[2][1] = 1;
    mat ans;memset(ans.a, 0, sizeof(ans.a));
    x = 0; ans.a[2][1] = 1;
    a[n + 1] = s;
    f(i, 1, n + 1) {
        if(a[i] - 1 > x) ans = qpow(ans, fir, a[i] - 1 - x);
        x = a[i] - 1;
        ans = mul(sec, ans);
        x = a[i];
    }
    cout << ans.a[1][1];
    return 0;
}

标签：mat,int,ll,memset,矩阵,ret,快速
来源： https://www.cnblogs.com/Zeardoe/p/16454358.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

矩阵快速幂

P3390

CF185A

ABC258Ex