标签：int max 1273 ST large 算法 天才 include AcWing
AcWing 1273. 天才的记忆
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一、\(RMQ\)问题
英文名称：\(Range\ Maximum (Minimum)\ Query\)，
含义:询问某个区间内的最大或最小值,一般采用\(ST\)算法，也称\(ST\)表、跳表。
二、\(ST\)算法
该问题，容易想到的解决方案是遍历，复杂度是\(O(n)\)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。
\(ST\)算法可以很好的解决这个问题。
算法步骤如下：
1、预处理
状态表示
设\(a[i]\)是要求区间最值的数列，\(f[i, j]\)表示从第\(i\)个数起连续\(2^j\)个数中的最大值。
举栗子：
\(a\)数列为：$$\large 3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 $$
\(f[1,0]\)表示第\(1\)个数起，长度为\(2^0=1\)的最大值，其实就是\(3\)这个数。
\(f[1,1] = max(3,2) = 3\)
\(f[1,2]=max(3,2,4,5) = 5\)
\(f[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8\);
并且我们可以容易的看出\(f[i,0]\)就等于\(a[i]\)。（\(dp\)的初始值）
这样，动态规划的 状态、初值都已经有了，剩下的就是 状态转移方程 。
为什么\(j\)是外循环而\(i\)是内循环？
能不能 调换一下嘞？
答案是 不可以 。
因为状态转移的时候\(i\)是跳动的，\(j\)是依赖于\(j - 1\)，因此需要先枚举\(j\)，再枚举\(i\)，还需要预处理出\(2^k\)的值.这一点在学习时需要特殊注意，这和此动态规划的具体含义相关，不能修改顺序。
查询
如何确定\(k\)呢？
对于每个查询 \([l,r]\)，需要先找出最大的一个满足 \(\large 2^k<len\) 的 \(\large k\)，其中
\(len=r−l+1\)，方法就是两边求对数：
\(k\)要想取最大的整数，就是\((int)(log_2(len))\)
如果是给整数赋值，就不用写强制转换，故直接写成：
int k = log2(len);
构造交集
查询时通过构建\(2^k\)的方法，造成\(\large [a,a+2^k-1]\)与\(\large [b-2^k+1,b]\)存在一个交集，分别求\(f(a,k)\)与\(f(b-2^k+1,k)\)，然后取一个\(max\)就是答案，虽然这里有一部分是重复的，但求最大值不怕重复！同时，也因为这个原因，使得\(st\)算法，也就只能用来计算最大最小值，不能用来处理其它需求。
三、实现代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 200010, M = 18;
int n, m;
int w[N];
int f[N][M];
void rmq_init() {
for (int j = 0; j < M; j++) //注意是j在外层
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) // i在内层
if (!j) // base case 边界值
f[i][j] = w[i];
else
f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
}
int query(int l, int r) {
int len = r - l + 1;
int k = log2(len);
return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
rmq_init();
scanf("%d", &m);
while (m--) {
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", query(l, r));
}
return 0;
}
四、练习题
标签：int,max,1273,ST,large,算法,天才,include,AcWing 来源： https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16443377.html
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