标签：子串 状态 SAM 后缀 基础 len endpos 字符串

SAM 的定义

• SAM 是一张有向无环图。结点被称作 状态 ，边被称作状态间的转移

• 图存在一个源点 \(t_0\) ，称作 初始状态，其它各结点均可从 \(t_0\) 出发到达

• 每个 转移 都标有一些字母。从一个结点出发的所有转移均不同

• 存在一个或多个 终止状态 。如果我们从初始状态 \(t_0\) 出发，最终转移到了一个终止状态，则路径上所有转移连接起来一定是字符串 \(s\) 的一个后缀。\(s\) 的每个后缀均可用一条从 \(t_0\) 到某个终止状态的路径构成

• 在所有满足上述条件的自动机中，SAM 的结点数最少

子串的性质

• SAM 包含关于字符串 \(s\) 的所有子串的信息。任意从初始状态 \(t_0\) 开始的路径，如果我们将转移路径上的标号写下来，都会形成 \(s\) 的一个子串。反之，每个 \(s\) 的子串对应从 \(t_0\) 开始的某条路径。

• 到达某个状态的路径可能不止一条，因此我们说一个状态对应一些字符串的集合，这个集合的每个元素对应这些路径

结束位置 endpos

• 考虑字符串 \(s\) 的任意非空子串 \(t\) ，我们记 \(endpos(t)\) 为在字符串中 \(t\) 的所有结束位置

• 两个子串的 \(endpos\) 集合可能相等，这样所有字符串 \(s\) 的非空子串都可以根据它们的 \(endpos\) 集合被分为若干 等价类

• 对于 SAM 中的每个状态对应一个或多个 \(endpos\) 相同的子串，也就是SAM 中的状态数等于所有子串的等价类的个数，再加上初始状态。SAM 的状态个数等价于 \(endpos\) 相同的一个或多个子串所组成的集合的个数 + 1

一些引理

• 字符串 \(s\) 的两个非空子串 \(u\) 和 \(w\) （假设 \(|u|\leq|w|\)）的 \(endpos\) 相同，当且仅当字符串 \(u\) 在 \(s\) 中的每次出现，都是以 \(w\) 的后缀形式存在的

• 考虑两个非空子串 \(u\) 和 \(w\) （\(|u|\leq|w|\)）。那么要么 \(endpos(u)\) 和 \(endpos(w)\) 不相交，要么 \(endpos(w)\) 是 \(endpos(u)\) 的子集，这取决于 \(u\) 是否是 \(w\) 的一个后缀

• 如果集合 \(endpos(u)\) 与 \(endpos(w)\) 有至少一个公共元素，那么 \(endpos(w)\) 是 \(endpos(u)\) 的子集

• 考虑一个 \(endpos\) 等价类，将类中所有子串按长度非递增顺序排序。每个子串都不会比它前一个子串长，且一定是前一个子串的后缀。也就是对于同一等价类的任一两子串，较短者为较长者的后缀，且该等价类中中的子串长度恰好覆盖一个区间

后缀链接 link

• 考虑一个非初始状态的状态 \(v\) 。我们已经知道状态 \(v\) 对应于具有相同 \(endpos\) 的等价类。我们定义 \(w\) 为这些字符串中最长的一个，则所有其它字符串都是 \(w\) 的后缀

• 我们还知道字符串 \(w\) 的前几个后缀（按长度降序考虑）全部包含于这个等价类，且所有其它后缀（至少有一个--空后缀）在其它的等价类中，我们记 \(t\) 为最长的这样的后缀，然后将 \(v\) 的后缀链接接连奥 \(t\) 上

• 换句话说，一个后缀链接 \(link(v)\) 链接到对应 \(w\) 的最长后缀是另一个 \(endpos\) 等价类的状态

• 以下我们假设初始状态 \(t_0\) 对应它自己这个等价类 （只包含一个空字符串）。为了方便，我们规定 \(endpos(t_0)=\{-1,0,\cdots,|S|-1\}\)

一些引理

• 所有后缀链接构成一颗根节点为 \(t_0\) 的树

• 通过 \(endpos\) 集合构造的树（每个子节点的 \(subset\) 都包含在父节点的 \(subset\) 中）与通过后缀链接 \(link\) 构造的树相同

小结

• \(s\) 的子串可以根据它们结束的位置 \(endpos\) 被划分为多个等价类

• SAM 由初始状态 \(t_0\) 和与每一个 \(endpos\) 等价类对应的每个状态组成

• 对于每一个状态 \(v\) ，一个或多个子串与之匹配。我们记 \(longest(v)\) 为其中最长的一个字符串，记 \(len(v)\) 为它的长度。类似地，记 \(shortest(v)\) 为最短的子串，它的长度为 \(minlen(v)\) 。那么对应这个状态的所有字符串都是字符串 \(longest(v)\) 的不同后缀，且所有字符串的长度恰好覆盖区间 \([minlen(v),len(v)]\) 中的每一个整数

• 对于任意不是 \(t_0\) 以外的状态 \(v\) ，定义后缀链接为连接到对应字符串 \(longest(v)\) 的长度为 \(minlen(v)-1\) 的后缀的一条边。从根节点 \(t_0\) 出发的后缀链接可以形成一棵树。这棵树也表示 \(endpos\) 集合间的包含关系

• 对于 \(t_0\) 以外的状态 \(v\) ，可用后缀链接 \(link(v)\) 表达 \(minlen(v)\):

  \[minlen(v)=len(link(v))+1 \]

• 如果我们从任意状态 \(v_0\) 开始顺着后缀链接遍历，总会到达初始状态 \(t_0\) 。这种情况下我们可以得到一个互不相交的区间 \([minlen(v_i),len(v_i)]\) 的序列，且它们的并集形成了连续的区间 \([0,len(v_0)]\)

算法

\(\quad\) SAM 是 在线 算法，我们可以以逐个加入字符串中的每个字符，并且在每一步中对应地维护 SAM 。

\(\quad\)为了保证线性的空间复杂度，我们将只保存 $ len$ 和 \(link\) 的值和每个状态的转移列表，我们不会标记终止状态。

\(\quad\)一开始 SAM 只包含一个状态 \(t_0\) ，编号为 \(0\) （其它状态的编号为 \(1,2,...\)）。为了方便，对于状态 \(t_0\) 我们指定 \(len=0,link=-1\) （\(-1\) 表示虚拟状态）

\(\quad\)现在，任务转化为实现给当前字符串添加一个字符 \(c\) 的过程。算法流程如下：

• 令 \(last\) 为添加字符 \(c\) 之前，整个字符串对应的状态（一开始我们设 \(last\) ，算法的最后一步更新 \(last\)） 。

• 创建一个新的状态 \(cur\) ，并将 $len(cur) $ 赋值为 \(len(last)+1\) ，在这时 \(link(cur)\) 的值还未知

• 现在我们按以下流程进行（从状态 \(last\) 开始）。如果还没有到字符 \(c\) 的转移，我们就添加一个到状态 \(cur\) 的转移，遍历后缀链接。如果在某个点已经存在到字符 \(c\) 的转移，我们就停下来，并将这个状态标记为 \(p\)

• 如果没有找到这样的状态 \(p\) ，我们就到达了虚拟状态 \(-1\) ，我们将 \(link(cur)\) 赋值为 \(0\) 并退出

• 假设我们找到一个状态 \(p\) ，其可以通过字符 \(c\) 转移。我们将转移到状态标记为 \(q\)

• 现在我们分类讨论两种状态，要么 \(len(p)+1=len(q)\) ，要么不是

• 如果 \(len(p)+1=len(q)\) ，我们只要将 \(link(cur)\) 赋值为 \(q\) 并退出

• 否则我们需要 复制 状态 \(q\) ：我们创建一个新的状态 \(clone\) ，复制 \(q\) 的除了 \(len\) 值以外的所有信息（后缀链接和转移）。我们将 \(len(clone)\) 赋值为 \(len(p)+1\)

  复制之后，我们将后缀链接从 \(cur\) 指向 \(clone\) ，也从 \(q\) 指向 \(clone\)

  最终我们需要使用后缀链接从状态 \(p\) 忘回走，只要存在一条通过 \(p\) 到状态 \(q\) 的转移，就将该转移重定向到状态 \(clone\)

• 以上三种情况，在完成这个过程后，我们将 \(last\) 的值更新为状态 \(cur\)

\(\quad\)如果我们还想知道哪些状态是 终止状态 而哪些不是，我们可以在为字符串 \(s\) 构造完完整整的 SAM 后找到所有的终止状态。为此，我们从对应整个字符串的状态 （存储在变量 \(last\) 中） ，遍历它的后缀链接，直到到达初始状态。我们将所有遍历到的节点都标记为终止节点。容易理解这样做我们会准确地标记字符串 \(s\) 地所有后缀，这些状态都是终止状态。

正确性证明

• 若一个转移 \((p,q)\) 满足 \(len(p)+1=len(q)\) ，我们称这个转移是 连续地 。否则，即当 \(len(p)+1<len(q)\) 时，这个转移被称为 不连续的 。从算法描述中可以看出，连续的、不连续的转移时算法的不同情况。连续的转移是固定的，我们不会再改变了，与此相反，当向字符串中插入一个新的字符时，不连续的转移可能会改变（转移边的端点可能会改变）。

• 为了避免引起歧义，我们记向 SAM 中插入当前字符 \(c\) 之前的字符串为 \(S\)

• 算法从创建一个新状态 \(cur\) 开始，对应于整个字符串 \(s+c\) 。我们创建一个新的节点，与此同时我们也创建了一个新的字符和一个新的等价类

• 在创建一个新的状态后，我们会从对应整个字符串 \(s\) 的状态通过后缀链接进行遍历。对于每一个状态，我们尝试添加一个通过字符 \(c\) 到新状态 \(cur\) 的转移。然而我们只能添加与原有转移不冲突的转移。因此我们只要找到已存在 \(c\) 的转移，我们就必须停止

• 最简单的情况是我们到达了虚拟状态 -1 ，这意味着我们为所有 \(s\) 的后缀添加了 \(c\) 的转移，这也意味着，字符 \(c\) 从未在字符串 \(s\) 中出现过。因此 \(cur\) 的后缀链接为状态 0

• 第二种情况下，我们找到了现有的转移 \((p,q)\) ，这意味着我们尝试向自动机内添加一个已经存在的字符串 \(x+c\) （其中 \(x\) 为 \(s\) 的一个后缀，且字符串 \(x+c\) 已经作为 \(s\) 的一个子串出现过了 ）。因为我们假设字符串 \(s\) 的自动机的构造是正确的，我们不应该在这里添加一个新的转移，然而，难点在于从状态 \(cur\) 出发的后缀链接应该连接到哪个状态呢？ 我们要把后缀链接接连到一个状态上，且其中最长的字符串恰好是 \(x+c\) ，即这个状态的 \(len\) 是 \(len(p)+1\) ，然而还不存在这样的状态，\(len(q)>len(p)+1\) ，这种情况下，我们必须通过拆开状态 \(q\) 来创建一个这样的状态

• 如果转移 \((p,q)\) 是连续的，那么 \(len(q)=len(p)+1\) ，这种情况下只需要将 \(cur\) 的后缀链接指向状态 \(q\)

• 否则状态是不连续的，这意味着状态 \(q\) 不止对应于长度为 \(len(p+1)\) 的后缀 \(s+c\) ，还对应于 \(s\) 更长的子串。除了将状态 \(q\) 拆成两个子状态以外我们别无它法，所以第一个子状态的长度就是 \(len(p)+1\) 了。

  我们如何拆开一个状态呢？我们 复制 状态 \(q\) ，产生一个状态 \(clone\) ，我们将 \(len(clone)\) 赋值为 \(len(p)+1\) ，由于我们不想改变遍历到 \(q\) 的路径，我们将 \(q\) 的所有转移复制到 \(clone\) ，我们也将从 \(clone\) 出发的后缀链接设置为 \(q\) 的后缀链接的目标，并设置 \(q\) 的后缀链接为 \(clone\)

  在拆开状态后，我们将从 \(cur\) 出发的后缀链接设置为 \(clone\)

  最后一步我们将一些到 \(q\) 的转移重定向到 $clone $ 。我们需要哪些修改呢？

  只重定向相当于所有字符串 \(w+c\) （\(w\) 是 \(p\) 的最长字符串）的后缀就够了。即，我们需要继续沿着后缀链接遍历，从结点 \(p\) 直到虚拟状态 \(-1\) 或者转移到不是状态 \(q\) 的一个转移

操作次数为线性的证明（略）

标签：子串,状态,SAM,后缀,基础,len,endpos,字符串
来源： https://www.cnblogs.com/kzos/p/16388923.html

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