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目录

• 
  
• 一、经验误差与过拟合
• 二、评估方法
  • 模型评估方法
    • 1. 留出法（hold-out）
    • 2. 交叉验证法（cross validation）
    • 3. 自助法（bootstrapping）
  • 调参（parameter tuning）和最终模型
  • 数据集（data set）
• 三、性能度量（performance measure）
  • 1. 回归任务的性能度量
    • • 1.1 均方误差、均方根误差
      • 1.2 平方绝对误差
      • 1.3 确定系数\(R^2\)
  • 2. 分类任务的性能度量
    • • 2.1 错误率、精度
      • 2.2 查准率、查全率、F1
      • 2.3 ROC、AUC
      • 2.4 代价敏感错误率、代价曲线
  • 3. 聚类任务的性能度量（第9章）
    • 3.1 外部指标（external index）
      • 3.1.1 Jaccard系数（JC，Jaccard Coefficient）
      • 3.1.2 FM指数（FMI，Fowlkes and Mallows Index）
      • 3.1.3 Rand指数（RI，Rand Index）
    • 3.2 内部指标（internal index）
      • 3.2.1 DB指数（DBI，Davies-Bouldin Index）
      • 3.2.2 Dunn指数（DI，Dunn Index）
• 
  
• 四、比较检验
  • 1. 假设检验
  • 2. 交叉验证\(t\)检验
  • 3. McNemar检验
  • 4. Friedman检验与Nemenyi后续检验
• 2.5 偏差与方差

一、经验误差与过拟合

• 错误率（error rate）：\(E={a \over m}\)（m个样本中有a个样本分类错误）。
• 精度（accuracy）：\((1-{a \over m})×100\%\)。（说白了就是正确率）
• 误差（error）：（误差期望）学习器实际预测输出与样本的真实输出之间的差异。
  
• 过拟合（overfitting）：将训练样本不太一般的特性作为了潜在样本具有的一般性质，导致泛化性能下降。
• 欠拟合（underfitting）：对训练样本的一般性质尚未学好。

\[ 成因\left\{ \begin{matrix} 过拟合：学习能力过于强大(关键障碍 且 无法避免)\\ 欠拟合：学习能力低下(容易克服) \end{matrix} \right. \]

（学习能力是否强大，由 学习算法和数据内涵共同决定）

• 证明过拟合不可避免：
  (1) P(polynominal)类问题：能在多项式时间内解决的问题。（可以称之为，很短时间内可以将问题答案算出来的问题）
  (2) NP(Non-deterministic Polynomially)类问题：能在多项式时间验证答案正确与否的问题。（可以称之为，很短时间内验证答案是不是正确答案的问题）

  1. 多项式时间：问题的时间复杂度在多项式(\(ax^n+bx^{n-1}+...+cx+d\))可以表示的范围内。
  2. P类问题一定是NP类问题的子集。能多项式时间内解决的问题，必然能在多项式时间内验证其解。

  (3) NPC(Non-determinism Polynomial Complete)类问题：存在一个NP问题，所有的NP问题都可以约化为它。即只要解决了这个NP问题，其他NP问题都可以解决。（问题A约化为问题B：用问题B的解法可以解决问题A）
  (4) NP难(Non-determinism Polynomial Hard)问题：所有NP问题都可以约化为这个问题，但这个问题不一定是NP问题。

  1. NP难问题，其实就是比所有NP问题都难的问题。因为每一次问题的约化，都会使得问题的复杂度提高。即将所有NP问题都约化为NP难问题时，只要解决最难的NP难问题，那么其他NP问题都可以解决了。
  2. NPC问题其实就是限定NP难问题只能为NP问题的问题。NP难问题不一定是NP问题，但是NPC问题一定是NP问题。同时，解决了NPC问题，也就解决了所有约化为其的NP问题。

  (5) “P=NP？”。只要任意一个NPC问题找到了一个多项式算法，那么所有的NP问题都可以在多项式时间内解决，则NP=P。然而，给一个NPC问题找一个多项式算法这个事情本身就难以置信，一般的NPC问题的时间复杂度都在指数级或者阶乘级，想要找到多项式级，绝对是质的飞跃。所以，人们普遍认为“NP≠P”
  (6) 若过拟合可以避免，则一定可以通过经验误差最小化这种P类问题，实现验证是否过拟合这种NP类问题，而获得最优解，即典型的“NP=P”。所以，只要确定“NP≠P”，则过拟合就不可避免。

• 模型选择问题（model selection）：
  (1) 选择学习算法
  (2) 选择参数配置

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二、评估方法

对模型的评估，一般采用 “测试集”（testing set）测试学习器的 “测试误差”（testing error），用测试误差来近似泛化误差，进而来评估模型对新样本的泛化能力。
而对于固定数据集，如何从数据集中产生训练集\(S\)和测试集\(T\)，就至关重要。书中介绍了3种方法，分别是：留出法、交叉验证法、自助法。

模型评估方法

1. 留出法（hold-out）

（1）直接将数据集D划分为两个互斥集合，一个集合作为训练集S，另一个为测试集T。
即

\(D = S ∪ T\)
\(S ∩ T = \varnothing\)
（2）训练/测试集的划分要尽可能保持数据分布的一致性，避免因数据划分过程引入额外的偏差而对最终结果产生影响。（正反例在S和T中所占的比例基本一致）从采样（sampling）角度来看，保留类别比例的采样方式称为“分层采样”（stratified sampling）。
（3）在给定训练/测试集样本比例后，仍然存在多种划分方式对初始数据集D进行分割。（排列组合问题：从所有n个正例中，任取所占比例数m，即\(C_n^m\)，从所有x个反例中，任取所占比例数y，即\(C_x^y\)，最终共有\(C_n^m × C_x^y\)个划分方式）
在使用留出法时，单次结果不够稳定可靠，所以采用若干次随机划分、重复进行实验评估后取平均值作为评估结果。
（4）缺点：对固定数据集D划分，S和T的比例对评估结果的影响较大。

• S过多T过少，模型≈直接用D训练得出的模型，评估结果不够稳定准确（评估结果方差较大）
• S过少T过多，模型与D训练得出的模型差别较大（评估结果偏差较大），降低了评估结果的保真性（fidelity）

2. 交叉验证法（cross validation）

（1）将数据集D划分为k个互斥子集，即

\(D=D_1∪D_2∪...∪D_k\)
\(D_i∩D_j=\varnothing(i≠j)\)
每个子\(D_i\)都保持数据分布一致性。
（2）每次利用\(k-1\)个子集的并集作为训练集，剩下一个作为测试集，共有\(k\)种训练/测试数据集，可进行\(k\)次训练和测试，最终将\(k\)个测试结果的均值作为结果。
（3）交叉验证法的评估结果的稳定性和保真性很大程度上取决于\(k\)的取值。（\(k\)常用取值为10）
（4）留一法（Leave-One-Out）--- 交叉验证法的特例
若数据集\(D\)含有\(m\)个样本，则令\(k=m\)，只有唯一的划分方式（划分为\(m\)个子集，每个子集包含一个样本）。留一法将\(m-1\)个样本用于训练，与直接用\(D\)训练得出的模型基本一致，所以其评估结果较为准确。其缺点也很明显，训练\(m\)个模型计算开销不可估量。

3. 自助法（bootstrapping）

（1）每次随机从包含\(m\)个样本的数据集\(D\)中，抽取一个样本复制到数据集\(D'\)，直到\(D'\)中包含\(m\)个样本。
（2）\(D\)中的某些样本会在\(D'\)中重复出现，而可能存在部分样本始终不出现，其概率为\((1-{1 \over m})^m\)，当样本数量\(m\)取极限时，概率为\(\lim_{m \rightarrow+\infty}(1-{1 \over m})^m={1 \over e}≈0.368\)，即\(D\)z中约有36.8%的样本不会出现在\(D'\)中。附极限的计算：

\[\lim_{m \rightarrow+\infty}(1-{1 \over m})^m=\lim_{m \rightarrow+\infty}e^{m \times ln(1-{1 \over m})} \\ =e^{\lim_{m \rightarrow+\infty}m \times ln(1-{1 \over m})} =e^{-1}={1 \over e} \\ 其中\lim_{m \rightarrow+\infty}m \times ln(1-{1 \over m}), \quad 令t={1 \over m} \\ \lim_{m \rightarrow+\infty}m \times ln(1-{1 \over m})=\lim_{t \rightarrow0}{{ln(1-t)} \over t}=\lim_{t \rightarrow0}{{-1} \over {1-t}}=-1 \]

（3）\(D'\)作为训练集，而将\(D\)中和\(D'\)中不重复的部分(36.8%)作为测试集。这样的测试结果称为“包外估计”（out-of-bag estimate）。
（4）优点：在数据集较小、难以有效划分训练/测试集时很有用；训练样本规模同初始数据集\(D\)的训练样本规模一样；能从初始数据集中产生多个不同的训练集，对集成学习等方法有很大的好处。
（5）缺点：自助法产生的数据集改变了初始数据集的分布，会引入估计偏差。在初始数据量足够时，留出法和交叉验证法更常用。

调参（parameter tuning）和最终模型

调参和算法选择对模型的性能都有显著的影响，其本质皆为：不同参数/学习算法训练出模型，将最好的模型作为结果。
调参，若对每种参数进行训练，对每种训练的模型进行评估，那计算开销会特别大，甚至不可行。所以，调参要在选适当的范围和适当的步长，对个别参数进行训练评估，虽然不一定是最佳值，但是是计算的开销和性能评估的折中结果，也具有一定的代表性。
模型在评估过程中，一般都只用数据集中的部分数据来训练模型，在模型选择完成后，还应将整个数据集重新训练模型，这才是最终模型。

数据集（data set）

三、性能度量（performance measure）

性能度量主要用于衡量模型泛化能力，其反映了任务需求。

给定样例集\(D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)...(x_m,y_m)\}\)，其中\(y_i\)是\(x_i\)的真实标记，要评估学习器\(f\)的性能，要把学习器预测结果\(f(x)\)与真实标记\(y\)进行比较。

1. 回归任务的性能度量

1.1 均方误差、均方根误差

均方误差（Mean Squared Error）：预测值与真实值差值的平方和的平均值。

\[E(f;D)={1 \over m}\sum_{i=1}^m(f(x_i)-y_i)^2 \]

均方根误差（Root Mean Squared Error）：均方误差开根号。

\[E(f;D)=\sqrt{{1 \over m}\sum_{i=1}^m(f(x_i)-y_i)^2} \]

取值范围均为0~1，值越接近于0，表明拟合度越好，泛化性能越好。

1.2 平方绝对误差

平方绝对误差（Mean Absolute Error）：预测值与真实值差值的绝对值的平均值。

\[E(f;D)={1 \over m}\sum_{i=1}^m|f(x_i)-y_i| \]

同样的，取值范围均为0~1，值越接近于0，表明拟合度越好，泛化性能越好。

1.3 确定系数\(R^2\)

残差平方和：预测值与真实值差值的平方和。

\[SSE=\sum_{i=1}^m(y_i-f(x_i))^2 \]

总离差平方和：真实值与真实值的平均值的差值的平方和。

\[SST=\sum_{i=1}^m(y_i-\overline{y})^2 \]

确定系数\(R^2\)（R-Squared）:由残差平方和（Sum of Squares due to Error）以及总离差平方和（Total Sum Of Squares）共同决定。

\[R^2=1-{SSE \over SST}=1-{{\sum_{i=1}^m(y_i-f(x_i))^2} \over {\sum_{i=1}^m(y_i-\overline{y})^2}} \]

由公式可知，\(R^2\)的取值范围为0~1，值越接近1，表明拟合度越高，泛化性能越好。

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2. 分类任务的性能度量

2.1 错误率、精度

错误率：分类错误的样本数占样本总数的比例。
（对于样例集\(D\)）$$E(f;D)={1 \over m}\sum_{i=1}^mⅡ(f(x_i)≠y_i)$$
（对于数据分布\(D\)和概率密度函数\(p(x)\)）$$E(f;D)=\int_{x \sim D}Ⅱ(f(x)≠y)p(x)dx$$

精度：分类正确的样本数占样本总数的比例。
（对于样例集\(D\)）$$acc(f;D)={1 \over m}\sum_{i=1}^mⅡ(f(x_i)=y_i)=1-E(f;D)$$
（对于数据分布\(D\)和概率密度函数\(p(x)\)）$$acc(f;D)=\int_{x \sim D}Ⅱ(f(x)=y)p(x)dx=1-E(f;D)$$
其中\(Ⅱ(f(x_i)≠y_i)\)为指示函数，\(f(x_i)≠y_i\)其值为1，否则为0。

2.2 查准率、查全率、F1

查准率（precision）：检索出的信息中有多少比例是用户感兴趣的。（准不准）
查全率（recall）：检索出多少用户感兴趣的信息。（全不全）

对于二分类问题，可将样例根据其真实类别与学习器预测类别的组合划分为真正例(TP，true positive) 、假正例 (FP，false positive) 、真反倒(TN，true negative)假反例 (FN，false negative) 四种。

\[TP+FP+TN+FN=样例总数 \]

\[查准率P={{TP}\over{TP+FP}} \]

\[查全率R={{TP}\over{TP+FN}} \]

查准率和查全率往往矛盾。查准率高，查全率往往偏低；查全率高，查准率往往偏低。（其实蛮好理解的，想要查的准，条件往往比较苛刻，难免会漏掉一些好的；若想要查的全，条件就相对宽松，也会混入一些差的，所以想要鱼和熊掌兼得，只可能在一些样例特征少的任务中实现。）

如何通过查准率和查全率判断模型性能？
（1）根据学习器预测结果对样例进行排序（最有可能的在最前）
（2）逐个将样本作为正例预测
（3）每次计算当前的查准率、查全率
（4）生成P-R曲线，通过曲线与x、y轴所围的面积来判断学习器性能

在P-R图中，曲线与x、y轴所围的面积越大，则表示学习器性能更好。但是，如果P-R曲线是平滑曲线，完全可以通过分段函数积分计算其面积来进行比较，但P-R曲线往往是非单调且不平滑的，计算其面积相对复杂，所以想要评判其性能，光靠面积（在这个问题上不太可能被量化）是完全不够的。“平衡点”就是用来解决这个问题的。
“平衡点”（BEP，Break-Event Point）：“查准率=查全率”时的取值。基于BEP进行比较，BEP越大，其性能也就越好。但BEP还是过于简单。
F1度量：F1是基于查准率和查全率的调和平均定义的。

\[{1 \over F1}={1\over 2}\times({{1\over P}+{1\over R}}) \]

\[F1={{2 \times P \times R} \over {P+R}}={{2 \times TP}\over{样例总数+TP-TN}}={{2 \times TP}\over{2 \times TP+FN+FP}} \]

\(F_β\)度量：\(F_β\)相较于F1更能表达出对查准率/查全率的不同偏好。\(F_β\)是加权调和平均。

\[{1 \over F_β}={1 \over{1+β^2}}\times({1\over P}+{β^2\over R}) \]

\[F_β={{(1+β^2)\times P \times R}\over{(β^2 \times R)+R}} \]

其中，

\[\begin{cases} β>0, 度量了查全率对查准率的相对重要性\\ β<1, 查全率有更大影响\\ β=1, 查全率和查准率影响一样大（F1）\\ β>1, 查准率有更大影响\\ \end{cases} \]

n个二分类混淆矩阵上综合考察查准率和查全率：
（1）生成n个二分类混淆矩阵

• 多次训练/测试，每次得到一个混淆矩阵
• 多个数据集上训练/测试
• 执行多分类任务，两两类别的组合对应一个混淆矩阵

（2）计算各混淆矩阵的查准率和查全率，记为(\(P_1\),\(R_1\))...(\(P_n\),\(R_n\))
（3）计算平均值

• 宏查准率（macro-P）：\(macro-P={1\over n}\sum_{i=1}^nP_i\)
• 宏查全率（macro-R）：\(macro-R={1\over n}\sum_{i=1}^nR_i\)
• 宏F1（macro-F1）：\(macro-F1={{2\times macro-P \times macro-R}\over{macro-P + macro-R}}\)

（4）还可先平均，再计算

• 微查准率（micro-P）：\(micro-P={{\overline{TP}}\over{\overline{TP}+\overline{FP}}}\)
• 微查全率（micro-R）：\(micro-R={{\overline{TP}}\over{\overline{TP}+\overline{FN}}}\)
• 微F1（micro-F1）：\(micro-F1={{2\times micro-P \times micro-R}\over{micro-P + micro-R}}\)

2.3 ROC、AUC

分类阈值（threshold）：学习器为测试样本产生一个实值或概率预测，然后将这个预测值与一个“分类阈值”进行比较，大于阈值的、小于阈值的分别划分为一类。（这个实值或概率预测结果的好坏，直接决定了学习器的泛化能力）
截断点（cut point）：根据实值或概率预测结果将测试样本排序，分类过程相当于在这个排序中以某个“截断点”将样本分为两部分。（排序本身的质量好坏，体现了“一般情况下”泛化性能的好坏。）
不同的应用任务中，可以根据任务需求采用不同的截断点，来体现对查准率和查全率的重视程度。

ROC（“受试者工作特征”，Receiver Operating Characteristic）：纵轴为“真正例率”（TPR，True Positive Rate），横轴为“假正例率”（FPR，False Positive Rate）。

\[TPR={{TP}\over{TP+FN}} \\ FPR={{FP}\over{TN+FP}} \]

如下图所示（图片来自网络，在此借用），对角线对应于“随机猜测”模型，C'很明显是分类性能最好的。

ROC曲线横纵坐标并不相关，所以ROC曲线并不应作为函数曲线来进行分析，而应该将其看作无数个点，每个点的横纵坐标表征其性能。

如何绘制ROC曲线？
（1）给定m个正例和n个反例
（2）根据学习器预测结果对样例进行排序
（3）将分类阈值从最大到最小，依次设为每个样例的预测值（依次将每个样例划分为正例）
（4）若前一个标记点坐标为\((x,y)\)，若当前为真例，则坐标为\((x,y+{1\over m})\)；若为反例，则坐标为\((x+{1\over n},y)\)。
（5）将相邻点用线段连接即得。

（*）我所理解的是，先将正例反例放在一起，按照预测结果进行排序，从\((0,0)\)点出发，依次按照序列向后读，如果是正例，则按\(y\)轴正方向向上移动\(1\over m\)个单位，若为反例，则按\(x\)轴正方向向左移动\(1\over n\)个单位，知道序列遍历结束。
举例：
正例预测结果集合为(0.8, 0.5, 0.4, 0.2, 0.05)
反例预测结果集合为(0.9, 0.7, 0.6, 0.2, 0.01)
将其排序得(0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.2, 0.05, 0.01)（其中红色标注的为正例，蓝色为正反例均有）
遍历序列。
第一个为0.9，为反例，反例共有5个，则向x轴正方向移动\(1\over 5\)个单位。

第二个为0.8，为正例，正例共5个，则向y轴正方向移动\(1\over 5\)个单位。

依次类推，将完整的画出。特别注意，当预测值为0.2时，正反例均有，则同时向x轴，y轴移动，则为斜线。

如何通过ROC比较学习器性能？
同P-R曲线一样，一定范围内，所包的面积越大，则其性能越好。
AUC（Area Under ROC Curve）：ROC曲线下的面积。（其实就是各点之间形成的矩形面积求和）。AUC值越大的分类器，性能越好。

\[AUC={1\over 2}\sum_{i=1}^{m-1}(x_{i+1}-x_i)\times(y_i+y_{i+1}) \]

举例：

ROC曲线上各点坐标集为：\(\{(0,0), (0.2,0), (0.2,0.25), (0.4,0.25), (0.6,0.25), (0.6,0.5), (0.6,0.75), (0.8,0.75), (0.8,1), (1,1)\}\)

根据公式来计算：

\[\begin{align} AUC&= {1\over 2}[(0.2-0)(0+0)+(0.2-0.2)(0+0.25)+(0.4-0.2)(0.25+0.25)+...+(1-0.8)(1+1)] \tag{1}\\ &= {1\over 2}\times 0.9 \tag{2}\\ &= 0.45 \tag{3} \end{align} \]

根据ROC曲线所围面积计算：
每个小矩形面积为\(0.2\times 0.25=0.05\)，
ROC所围面积总共占有9个矩形，故\(AUC=9\times 0.05=0.45\)
结果一致。

公式推导：
已知，\(AUC\)的值就是曲线与x轴所围成的面积。

在上图中，曲线与x轴所围成的面就就是红线与蓝线与x轴所围成的面积。红线组成矩形，而蓝线组成梯形。矩形面积和梯形面积均可以用梯形面积公式，即

\[{1\over 2}(x_{i+1}-x_i)\times(y_i+y_{i+1}) \]

其实就是\(1\over 2\)高乘以上底加下底的和。其中，\((x_{i+1}-x_i)\)是高，\((y_i+y_{i+1})\)是上底加下底的和。
最终将所有面积求和即为\(AUC\)。

\[AUC=\sum_{i=1}^{m-1}[{1\over 2}(x_{i+1}-x_i)\times(y_i+y_{i+1})] \]

排序“损失”（loss）：ROC曲线之上的面积。

\[l_{rank}={1\over m^+m^-}\sum_{{x^+}∈{D^+}}\sum_{{x^-}∈{D^-}}(Ⅱ(f(x^+)<f(x^-))+{1\over 2}Ⅱ(f(x^+)=f(x^-))) \]

其中，有\(m^+\)个正例，\(m^-\)个反例，\(D^+\)是正例的集合，\(D^-\)是反例的集合。该公式的含义是：若正例的预测值比反例小，则加1，若正例预测值和反例预测值相等则加\(1\over 2\)。

公式推导：
按照\(AUC\)的公式推导方法，\(l_{rank}\)同样是计算梯形面积，只不过为曲线上半部分面积。对应于图，则为计算绿线和蓝线与\(y\)轴所围成的面积。

因为每增加一个真正例，沿\(y\)轴增加\(1\over {m^+}\)，故可设梯形高为\(1\over {m^+}\)。
计算梯形面积还需要“上底（较短的底）+下底（较长的底）”，而上底和下底均是绿色、蓝色线段两端点到\(y\)轴的距离。因为每增加一个假正例，沿\(x\)轴增加\(1\over {m^-}\)，故其“上底”为\(1\over {m^-}\)乘以预测值大于\(f(x^+)\)的假正例的个数，即

\[{1\over{m^-}}\sum_{x^-∈D^-}Ⅱ(f(x^+)<f(x^-)) \]

其“下底”为\(1\over {m^-}\)乘以预测值大于等于\(f(x^+)\)的假正例的个数，即

\[{1\over{m^-}}(\sum_{x^-∈D^-}Ⅱ(f(x^+)<f(x^-))+\sum_{x^-∈D^-}Ⅱ(f(x^+)=f(x^-))) \]

则单个梯形面积为：

\[{1\over2}\times{1\over m^+}\times[{1\over{m^-}}\sum_{x^-∈D^-}Ⅱ(f(x^+)<f(x^-))+{1\over{m^-}}(\sum_{x^-∈D^-}Ⅱ(f(x^+)<f(x^-))+\sum_{x^-∈D^-}Ⅱ(f(x^+)=f(x^-)))]\\ ={1\over2}\times{1\over m^+}\times[{2\over{m^-}}\sum_{x^-∈D^-}Ⅱ(f(x^+)<f(x^-))+{1\over{m^-}}\sum_{x^-∈D^-}Ⅱ(f(x^+)=f(x^-))]\\ ={1\over{m^+m^-}}\sum_{x^-∈D^-}[Ⅱ(f(x^+)<f(x^-))+{1\over2}Ⅱ(f(x^+)=f(x^-))] \]

将所有梯形面积求和，则可得到\(l_{rank}\)，即证。

\[l_{rank}=\sum_{{x^+}∈{D^+}}{1\over m^+m^-}\sum_{{x^-}∈{D^-}}(Ⅱ(f(x^+)<f(x^-))+{1\over 2}Ⅱ(f(x^+)=f(x^-))) \]

\[AUC=1-l_{rank} \]

这个不难理解，就是总面积1减去曲线上半部分面积，等于曲线下半部分面积。

2.4 代价敏感错误率、代价曲线

非均等代价（unequal cost）：为权衡不同类型错误所造成的不同损失，将错误赋予“非均等代价”。（不同的错误所造成的后果不同）
代价矩阵（cost matrix）：

其中，\(cost_{ij}\)表示第\(i\)类样本预测为第\(j\)类样本的代价；\(cost_{ii}=0\)（因为结果正确，未造成错误而产生代价）；损失程度相差越大，\(cost_{01}>cost_{10}\)的值的差别越大（更关注于代价间的比值，而非差值）。


若单纯将错误的代价作为均等代价（所有错误所造成的后果一致），则错误率可以直接以错误次数来进行衡量。但往往，错误有轻重，在非均等代价的前提下，仅仅最小化错误次数是远远不够的，只有最小化总体代价（total cost），才能使得错误造成的后果最小化。（我认为，这是一种对错误的赋权方式，也是对不同错误的偏好设置）
“代价敏感”错误率（cost-sensitive）：

\[E(f;D;cost)={1\over m}\bigg(\sum_{x_i∈D^+}Ⅱ(f(x_i)≠y_i)\times{cost_{01}}+\sum_{x_i∈D^-}Ⅱ(f(x_i)≠y_i)\times{cost_{10}} \bigg) \]

同之前均等代价错误率（\(E(f;D)={1\over m}\sum_{x_i∈D}Ⅱ(f(x_i)≠y_i)\)）相比，将数据集中正反例错误进行赋权，计算得出其“代价敏感”错误率。


代价曲线（cost curve）：\(ROC\)曲线在非均等代价下，不能直接反映出学习器的期望总体代价，而代价曲线可以实现。

• 横轴：正例概率代价，取值为\([0,1]\)，$$P(+)cost={{p\times cost_{01}\over{p\times cost_{01}+(1-p)\times cost_{10}}}}$$（p为样例为正例的概率）
• 纵轴：归一化代价，取值为\([0,1]\)，$$cost_{normal}={{FNR\times p\times cost_{01}+FPR\times(1-p)\times cost_{10}}\over{p\times cost_{01}+(1-p)\times cost_{10}}}$$（\(FNR={{FN}\over{TP+FN}}\)，\(FPR={{FP}\over{TN+FP}}\)）
  将横轴的\(P(+)cost\)带入纵轴\(cost_{normal}\)，得到$$cost_{normal}=FNR\times P(+)+FPR\times(1-P(+))$$
  可以看作斜率为\(FNR-FPR\)，截距为\(FPR\)，范围均在\([0,1]\)上的一条线段。

\[y=(FNR-FPR)x+FPR \quad x,y∈[0,1] \]

其实从其定义易知代价曲线的画法。

\[当x=0时,y=FPR\\ 当x=1时,y=FNR \]

连接\((0,FPR)\)与\((1,FNR)\)即可。

如何绘制代价曲线？
（1）\(ROC\)曲线上每一点对应了代价平面上的一条线段
　　（1.1）设\(ROC\)曲线上点的坐标为\((FPR,TPR)\)
　　（1.2）\(FNR=1-TPR\)
　　（1.3）绘制从\((0,FPR)\)到\((1,FNR)\)的线段，线段下的面积表示该条件下的期望的总体代价
　　（1.4）如此将\(ROC\)每个点都转化为代价平面上的一条线段
　　（1.5）取所有线段的下界，其所围成的面积就是所有条件下学习器的期望总体代价

---

3. 聚类任务的性能度量（第9章）

聚类的性能度量又称为聚类“有效性指标”（validity index）。
聚类结果好的标准：

• “簇内相似度”（intra-cluster similarity）高
• “簇间相似度”（inter-cluster similarity）低

3.1 外部指标（external index）

外部指标：将聚类结果与某个“参考模型”（reference model）进行比较。


对于数据集\(D=\{x_1,...,x_m\}\)，聚类划分簇为\(C=\{C_1,...,C_k\}\)，参考模型划分的簇为\(C^*=\{C_1^*,...,C_s^*\}\)，\(\lambda,\lambda^*\)分别表示\(C,C^*\)对应的簇标记向量。

\[a=|SS|, \quad SS=\{(x_i,x_j)|\lambda_i=\lambda_j,\lambda_i^*=\lambda_j^*,i<j\}\\ b=|SD|, \quad SD=\{(x_i,x_j)|\lambda_i=\lambda_j,\lambda_i^*≠\lambda_j^*,i<j\}\\ c=|DS|, \quad DS=\{(x_i,x_j)|\lambda_i≠\lambda_j,\lambda_i^*=\lambda_j^*,i<j\}\\ d=|DD|, \quad DD=\{(x_i,x_j)|\lambda_i≠\lambda_j,\lambda_i^*≠\lambda_j^*,i<j\} \]

其中，集合\(SS\)表示样本对既在\(C\)中属于相同簇，又在\(C^*\)中属于相同簇；
集合\(SD\)表示样本对在\(C\)中属于相同簇，而在\(C^*\)中属于不同簇；
集合\(DS\)表示样本对在\(C\)中属于不同簇，在\(C^*\)中属于相同簇；
集合\(DD\)表示样本对既在\(C\)中属于不同簇，又在\(C^*\)中属于不同簇。
（很好理解，就是\(S\)表示样本对在一个簇中，\(D\)表示样本对不在同一个簇中，\(a、b、c、d\)则分别表示四个集合中样本对的个数。很明显，\(a\)和\(d\)所表示聚类结果和参考模型结果一致，而\(b\)和\(c\)则表示聚类结果和参考模型不一致，所以\(a\)和\(d\)越大的聚类算法，其性能也就越好。）
因为每个样本对\((x_i,x_j)(i<j)\)仅能出现于\(SS、SD、DS、DD\)其中之一，因此，\(a+b+c+d={{m(m-1)}\over2}\)。
（这里的原因是，因为\(SS、SD、DS、DD\)四个集合互斥，所以\(a+b+c+d\)则为样本对的总数，而样本对的总数就是数据集\(D=\{x_1,...,x_m\}\)中，\(m\)个数两两无序组合的个数，即为\(C_m^2={{m(m-1)}\over2}\)，这里无序的原因是因为已经规定了\(i<j\)，所以不存在\((x_j,x_i)\)的样本对，即为无序。）

3.1.1 Jaccard系数（JC，Jaccard Coefficient）

\[JC={{a}\over{a+b+c}} \]

定义：Jaccard系数用来描述两个集合的相似程度。

\[JC={{|A∩B|}\over{|A∪B|}}={{|A∩B|}\over{|A|+|B|-|A∩B|}} \]

Jaccard延申定义：

\[JC={{M_{11}}\over{M_{11}+M_{10}+M_{01}}} \]

其中，\(M_{11}\)表示元素同时出现在\(A、B\)两个集合的元素个数；
\(M_{10}\)表示元素出现在\(A\)，但不出现在\(B\)的元素个数；
\(M_{01}\)表示元素出现在\(B\)，但不出现在\(A\)的元素个数；
\(M_{00}\)表示元素既不出现在\(A\)又不出现在\(B\)的元素个数。
显然，\(|A∩B|=M_{11} \quad |A-A∩B|=M_{10} \quad |B-A∩B|=M_{01}\)

所以，\(JC={{|A∩B|}\over{|A∪B|}}={{|SS|}\over{|SS∪SD∪DS|}}={{a}\over{a+b+c}}\)

3.1.2 FM指数（FMI，Fowlkes and Mallows Index）

\[FMI=\sqrt{{{a}\over{a+b}}\cdot{{a}\over{a+c}}} \]

其中，\(a+b\)表示样本对在聚类结果中属于同一类的数量，\(a+c\)表示样本对在参考模型中属于同一类的数量。
\({a}\over{a+b}\)与\({a}\over{a+c}\)代表样本对在聚类结果和参考模型中属于同一类的概率。这两个概率值往往不相等，故为不对称指标，通过对两个不对称指标求几何平均数转化为对称指标。

3.1.3 Rand指数（RI，Rand Index）

\[RI={{a+d}\over{a+b+c+d}}={{a+d}\over{m(m-1)/2}}={{2(a+d)}\over{m(m-1)}} \]

\(a、d\)表示聚类结果和参考模型一致，显然\(RI\)可以表示聚类结果与参考模型的一致性。


上述三个性能度量取值范围均在\([0,1]\)，其值越大，说明聚类算法性能越好。

3.2 内部指标（internal index）

内部指标：直接考察聚类结果而不利用任何参考模型。


对于聚类结果的簇划分\(C=\{C_1,...,C_k\}\)
定义：

\[avg(C)={{\sum_{1≤i<j≤|C|}dist(x_i,x_j)}\over{{|C|(|C|-1)}\over{2}}} \]

不难看出，\(\sum_{1≤i<j≤|C|}dist(x_i,x_j)\)表示样本对\((x_i,x_j)\)的距离之和，\({|C|(|C|-1)}\over{2}\)表示样本对总数，即\(avg(C)\)表示样本对间的平均距离。一个簇的平均距离可以很好反映这个簇的分散程度。

\[diam(C)=max_{1≤i<j≤|C|}dist(x_i,x_j) \]

\(diam(C)\)则表示簇内样本间最远距离。

\[d_{min}(C_i,C_j)=min_{x_i∈C_i,x_j∈C_j}dist(x_i,x_j) \]

\(d_{min}(C_i,C_j)\)表示两簇\(C_i,C_j\)最近样本间的距离。

\[d_{cen}(C_i,C_j)=dist(\mu_i,\mu_j) \]

\(d_{cen}(C_i,C_j)\)表示两簇\(C_i,C_j\)中心点间的距离，\(\mu_i,\mu_j\)为两簇的中心点。两簇中心点的距离很好的表现了各个簇类之间的分离程度。

3.2.1 DB指数（DBI，Davies-Bouldin Index）

\[DBI={1\over k} \sum_{i=1}^k max_{j≠i}\bigg({{avg(C_i)+avg(C_j)}\over{d_{cen}(C_i,C_j)}} \bigg) \]

\(DBI\)主要表示簇之间的最大“相似度”的均值。很显然，\(DBI\)值越小，两簇相似度越低，则聚类效果越好。

3.2.2 Dunn指数（DI，Dunn Index）

\[DI=min_{1≤i≤k}\{min_{j≠i}({{d_{min}(C_i,C_j)}\over{max_{1≤l≤k}diam(C_l)}})\} \]

\(DI\)值越大，簇与簇之间距离也就越远，“簇间相似度”就越低，聚类性能越好。

四、比较检验

性能比较涉及的因素：

• 泛化性能和测试集的性能未必相同
• 不同测试集其结果、性能不一定相同
• 学习算法具有随机性，每次结果不一定相同

1. 假设检验

先对假设检验的概念进行理解：（具体参考浙江大学《概率论与数理统计(第四版)》第八章假设检验）
我所理解的假设检验就是利用“小概率事件基本不会发生”的原理，对事件正反两个假设其中之一进行检验，若检验的假设成立的概率小于\(α\)（检验的显著性水平），假设不成立，则另一个假设一定成立。

检验步骤:

1. 提出假设\(H_0,H_1\)，设定检验水准\(α\)的值（通常取\(0.1、0.05\)）。
2. 选定统计检验方法（二项检验、t检验等），由样本观察值按公式计算出统计量的大小。
3. 确定检验假设成立的可能性\(P\)的大小，并与\(α\)比较判断结果。若\(P>α\)，则假设成立，否则不成立。

假设检验最终结果是该假设是否成立

根据测试错误率\(\hat{\epsilon}\)估推出泛化错误率\(\epsilon\)的分布。
（泛化错误率\(\epsilon\)：学习器在一个样本上犯错的概率；测试错误率\(\hat{\epsilon}\)：\(m\)个测试样本有\(\hat{\epsilon}\times m\)个被错误分类）
泛化错误率\(\epsilon\)的学习器，将\(m\)个样本中的\(m'\)个样本分类错误，将\(m-m'\)个样本分类正确的概率为：

\[P(\epsilon)=(_{m'}^m) {\epsilon}^{m'}(1- \epsilon)^{m-m'} \]

测试错误率\(\hat{\epsilon}\)，将\(m\)个样本中\(\hat{\epsilon}\times m\)个错误分类，\(m-\hat{\epsilon}\times m\)正确分类的概率为：

\[P({\hat{\epsilon}};{\epsilon})=(_{\hat{\epsilon}\times m}^m) {\epsilon}^{\hat{\epsilon}\times m}(1- \epsilon)^{m-\hat{\epsilon}\times m} \]

很明显这是属于二项分布，对其求偏导易知在\(\epsilon=\hat\epsilon\)，\(P(\hat\epsilon,\epsilon)\)取最大值。

二项分布的定义：

二项式定理：

“二项检验”（binomial test）：已知一个分布服从二项分布，但未知这个分布的参数（这个参数在书中是 泛化错误率\(\epsilon\)），想要通过一批服从这个分布的一些样本（即 测试错误率\(\hat\epsilon\)），来对这个参数的取值范围的假设进行判断，若这个假设置信度超过了设定的置信度阈值，则假设成立。（这个解释些许有些牵强，仍需探讨并改进）

对西瓜书中“二项检验”的理解：

1. 该“二项检验”要检验的假设：

\[H_0:\epsilon≤\epsilon_0 \quad (泛化错误率\epsilon≤猜测值\epsilon_0) \\ H_1:\epsilon＞\epsilon_0 \quad (泛化错误率\epsilon＞猜测值\epsilon_0)\]

要证明这个猜想是否成立，其实只需要知道泛化错误率\(\epsilon\)的值即可，但是泛化错误率往往不能预先得知，这也是此次“二项检验”的目的：在一定准确度上，对\(\epsilon\)的值进行猜测，其中\(\epsilon_0\)即是对\(\epsilon\)的猜测值。
预先可以得到的是测试错误率\(\hat\epsilon\)，测试错误率可以在一定程度上反映出泛化错误率，书中给出两者的联合概率函数$$P({\hat{\epsilon}};{\epsilon})=(_{\hat{\epsilon}\times m}^m) {\epsilon}^{\hat{\epsilon}\times m}(1- \epsilon)^{m-\hat{\epsilon}\times m}$$
易知，\(\epsilon=\hat\epsilon\)的概率最大，这里解释基本合理，但是这里引用一下\(\hat\epsilon\)是\(\epsilon\)的无偏估计使其更为可靠。(无偏估计的意义是：在多次重复下，它们的平均数接近所估计的参数真值。)

\[\begin{aligned} \because P(\hat{\epsilon} ; \epsilon) &=\left(\begin{array}{c} m \\ \hat{\epsilon} * m \end{array}\right) \epsilon^{\hat{\epsilon} * m}(1-\epsilon)^{m-\hat{\epsilon} * m} \\ \therefore E(\hat{\boldsymbol{\epsilon}}) &=\sum_{i=0}^{m} \hat{\epsilon} P(\hat{\epsilon} ; \epsilon) \\ &=\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m} i\left(\begin{array}{c} m \\ i \end{array}\right) \epsilon^{i}(1-\epsilon)^{m-i} \\ &=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} m \epsilon\left(\begin{array}{c} m-1 \\ i-1 \end{array}\right) \epsilon^{i-1}(1-\epsilon)^{m-i} \\ &=\epsilon \sum_{i=1}^{m}\left(\begin{array}{c} m-1 \\ i-1 \end{array}\right) \epsilon^{i-1}(1-\epsilon)^{(m-1)-(i-1)} \\ &=\epsilon[\epsilon+(1-\epsilon)]^{m-1}=\epsilon \\ \therefore \hat{\epsilon} \text { 是 } \epsilon \text { 的无偏估计 } \end{aligned} \]

2. 若想使得\(\epsilon≤\epsilon_0\)假设成立，则要使得测试错误率\(\hat\epsilon＜\)临界值\(\overline\epsilon\)（即泛化错误率\(\epsilon\)的最小值），使得\(\hat\epsilon<\overline\epsilon≤\epsilon≤\epsilon_0\)。
   即\(\hat\epsilon<\overline\epsilon\)成立的概率\(≥1-α\)或\(\hat\epsilon≥\overline\epsilon\)成立的概率\(＜α\)（反命题成立表示正命题不成立），则认为\(\epsilon≤\epsilon_0\)成立。
   即，\(P\{\hat\epsilon≥\overline\epsilon |\epsilon≤\epsilon_0\}＜α\)时，则假设\(\epsilon≤\epsilon_0\)成立。
3. 在已知\(\hat\epsilon\)的前提下，只需要计算\(\overline\epsilon\)及\(α\)的值即可对假设做出检验。
   如何计算假设的置信度\(1-α\)？
   假设置信度就是假设在泛化错误率的取值范围的约束下，分布曲线下的面积和（对应于图2.6中的非阴影部分的面积和）。其中，\(α\)就是从\(\epsilon\times m+1\)个误分类样本数开始，一直到\(m\)个误分类样本数中，柱形面积之和（对应于图2.6中的阴影部分的面积和）。
   而\(\overline\epsilon\)值便是满足阴影部分面积最大值小于\(α\)条件下，最小的\(\epsilon\)取值，即公式（这里公式已经更正为正确版本）：

\[\bar{\epsilon}=\min\epsilon \quad \text { s.t. } \quad \sum_{i=\epsilon \times m+1}^{m}\left(\begin{array}{c} m \\ i \end{array}\right) \epsilon_{0}^{i}(1-\epsilon_{0})^{m-i}<\alpha \]

4. 综上所述，若测试错误率\(\hat\epsilon\)小于临界值\(\overline\epsilon\)，则表示\(\epsilon≤\epsilon_0\)假设成立。（希望各位对此公式的个人见解进行交流和指正）
   
   

t检验（t-test）：

引用浙江大学概率论与数理统计(第四版)第八章第二节正态总体均值的假设检验中，关于t检验概念说明部分。

1. 对于已知\(k\)个测试错误率\(\hat{\epsilon}_{1}, \hat{\epsilon}_{2}, \ldots, \hat{\epsilon}_{k}\)的学习器，猜测其泛化错误率\(\epsilon_0\)，做出假设

\[H_0:\mu=\epsilon_0 \\ H_1:\mu≠\epsilon_0 \]

2. 计算平均错误率\(\mu\)，方差\(\sigma^{2}\)

\[\mu=\frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} \hat{\epsilon}_{i} \]

\[\sigma^{2}=\frac{1}{k-1} \sum_{i=1}^{k}\left(\hat{\epsilon}_{i}-\mu\right)^{2} \]

则检验统计量\(t\)为

\[t=\frac{\sqrt{k}\left(\mu-\epsilon_{0}\right)}{\sigma} \]

3. 
   若\(t\)位于\([t_{{-α}\over{2}},t_{{α}\over{2}}]\)内，则假设\(H_0:\mu=\epsilon_0\)平均测试错误率等于泛化错误率成立。
   
   

2. 交叉验证\(t\)检验

其实就是对\(k\)折交叉验证法验证两个学习器\(A\)和\(B\)，得到的测试错误率进行检验，猜测两个学习器泛化错误率是否相同。这里的比较检验方法是成对t检验（paired t-tests）。
基本思想就是两学习器性能相同，则两测试错误率也相同。

1. 做出假设

\[H_0:\epsilon^A=\epsilon^B \\ H_1:\epsilon^A≠\epsilon^B \]

2. 计算两学习器测试错误率的差值，得到\(\Delta_1,\Delta_2,...,\Delta_k\)。

\[\Delta_i=\epsilon_i^A-\epsilon_i^B \]

3. 计算差值的均值\(\mu\)及方差\(\sigma^2\)。

\[\mu={1\over k}\sum_{i=1}^k\Delta_i \\ \sigma^2={1\over k-1}\sum_{i=1}^k(\Delta_i-\mu)^2 \]

4. 计算t。

\[t=|\frac{\sqrt{k}\mu}{\sigma}| \]

5. 若\(t<t_{\frac{\alpha}{2},k-1}\)，则表示假设\(H_0\)成立，两学习器性能相同，否则性能有差别，平均错误率较小的性能较优。
   
   

5×2交叉验证法：
目的是为了解决测试错误率不独立的问题，而提出的方法。测试错误率不独立的原因是：原数据固定，交叉验证时，不同轮的训练集可能会重叠。
该方法内容：

1. 随机将原数据打乱，将原数据分为2个互斥子集\(D_1∩D_2=\empty\)，\(D_1,D_2\)均作为测试集，进行测试，得到一对测试错误率\((\hat\epsilon_1^1,\hat\epsilon_1^2)\)。
2. 将上述步骤重复5次，得到五对测试错误率\((\hat\epsilon_1^1,\hat\epsilon_1^2),...,(\hat\epsilon_5^1,\hat\epsilon_5^2)\)。对于两个学习器\(A,B\)，分别得到其五对测试错误率\((\hat\epsilon_{A1}^1,\hat\epsilon_{A1}^2),...,(\hat\epsilon_{A5}^1,\hat\epsilon_{A5}^2)\)，\((\hat\epsilon_{B1}^1,\hat\epsilon_{B1}^2),...,(\hat\epsilon_{B5}^1,\hat\epsilon_{B5}^2)\).
3. 分别求1折和2折上的差值。

\[\Delta_i^1=\hat\epsilon_{Ai}^1-\hat\epsilon_{Bi}^1\\ \Delta_i^2=\hat\epsilon_{Ai}^2-\hat\epsilon_{Bi}^2 \]

4. 为了缓解测试错误率的非独立性，仅计算第一次交叉验证的均值\(\mu\)，但方差依旧计算总体方差。

\[\mu=\frac{\Delta_1^1+\Delta_1^2}{2}\\ \sigma_i^2=(\Delta_i^1-\frac{\Delta_i^1+\Delta_i^2}{2})^2+(\Delta_i^2-\frac{\Delta_i^1+\Delta_i^2}{2})^2 \]

5. 计算检验统计量\(t\)，将\(t\)与临界值\(t_{\frac{\alpha}{2}}\)进行比较，确定假设是否成立。

\[t=\frac{\mu}{\sqrt{0.2 \sum_{i=1}^{5} \sigma_{i}^{2}}} \]

因为这里共有5对测试错误率，故自由度为5（这里自由度是指取值不受限制的变量个数），查t检验临界值表可知，当\(\alpha=0.05\)时，\(t_{\frac{\alpha}{2}}=2.571\)，当\(\alpha=0.1\)时，\(t_{\frac{\alpha}{2}}=2.015\)。

3. McNemar检验

McNemar检验，实现对于二分类多个学习器之间性能的检验。
列联表（contingency table）：展示两个学习器分类结果的关系数量。（这里很容易联想到二分类代价矩阵）

若两学习器性能相同，则应有\(e_{01}=e_{10}\)，则\(|e_{01}-e_{10}|\)服从正态分布。
（这里可以类比\(P-R\)曲线中的平衡点概念，平衡点在混淆矩阵中\(P=R\)，也即\(\frac{TP}{TP+FP}=\frac{TP}{TP+FN}\)，化简可知\(FP=FN\)，即这里的列联表反对角线相等来评估两学习器性能相同。）
则定义检验统计量

\[\tau_{\chi^{2}}=\frac{\left|e_{01}-e_{10}\right|^{2}}{e_{01}+e_{10}} \]

通过连续性校正（因为这里是对二项分布进行正态分布的近似，故需要连续性校正），频率小的加0.5，频率大的减0.5，变形后即

\[\tau_{\chi^{2}}=\frac{\left(\left|e_{01}-e_{10}\right|-1\right)^{2}}{e_{01}+e_{10}} \]

服从自由度为1的\(\chi^2\)分布，当\(\tau_{\chi^{2}}<\chi_\alpha^2(临界值)\)时，则不能拒绝假设：“两学习器性能基本一致”，否则拒绝假设。
关于\(\chi^2\)检验（卡方检验）的检验过程，在习题2.9中已经给出。

4. Friedman检验与Nemenyi后续检验

一组数据集上多个算法比较的方法：

• 两两比较后排序，两两比较可使用t检验和McNemar检验
• 基于算法排序的Friedman检验

Friedman检验方法：

1. 在每个数据集上对每个学习器/学习算法进行测试，得到其测试性能。
2. 按照测试性能进行排序（升序1~n），若两学习器性能一样，则其排序序号为\(当前序值+\frac{1}{性能相同学习器的个数}\)（即平分序值），并计算每个算法的平均序值（若学习器性能相同，则其平均序值应该相同），得到算法比较序值表。
   
3. 在N个数据集上比较k个算法，令\(r_i\)表示第\(i\)个算法的平均序值。

• \(r_i\)的均值$$\frac{k+1}{2}$$

推导过程：

• \(r_i\)的方差$$\frac{k^2-1}{12N}$$

推导过程：（方差的推导推到最后推不出来了，望各位指点）

定义检验统计量\(\tau_{\chi^2}\)为

\[\begin{aligned} \tau_{\chi^{2}} &=(n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\\ &=(k-1)\frac{\frac{\sum_{i=1}^k(r_i-\frac{k+1}{2})^2}{k}}{\frac{k^2-1}{12N}}\\ &=\frac{k-1}{k} \cdot \frac{12 N}{k^{2}-1} \sum_{i=1}^{k}\left(r_{i}-\frac{k+1}{2}\right)^{2} \\ &=\frac{12 N}{k(k+1)}\left(\sum_{i=1}^{k} r_{i}^{2}-\frac{k(k+1)^{2}}{4}\right) \end{aligned} \]

当\(k\)和\(N\)较大时，服从自由度为\(k-1\)的\(\chi^2\)分布，这里显然对\(k\)和\(N\)的值有要求，较小时无显著区别，所以该检验方法过于保守，为了解决小数值\(k\)和\(N\)的检验问题，则使用\(\tau_F\)来进行检验。

\[\tau_{F}=\frac{(N-1) \tau_{\chi^{2}}}{N(k-1)-\tau_{\chi^{2}}} \]

这里\(\tau_F\)服从自由度为\(k-1\)和\((k-1)(N-1)\)的\(F\)分布。

这里仅给出了常用值，全部可用值在浙江大学概率论与数理统计(第四版)387页F分布表中给出。

Nemenyi后续检验（Nemenyi post-hoc test）：
“Friedman”检验仅用于说明算法间性能是否相同，若要区分各算法，则需进行后续检验。

1. 计算临界值域

\[C D=q_{\alpha} \sqrt{\frac{k(k+1)}{6 N}} \]

2. 若两算法\(平均序值之差>临界值域CD\)，则两算法性能不相同。
   
   

Friedman检验用来判断所有算法是否存在显著差异，若存在，则利用Nemenyi后续检验对算法进行两两比较，区分出哪几组算法性能存在差异。
就可从图中观察，若两个算法的横线段有交叠，则说明这两个算法没有显著差别，否则即说明有显著差别。有差别的两算法，平均序值越小，算法性能越优。

TODO：这里遗留一个问题“这几种检验方式的使用场景以及适用条件？”

---

2.5 偏差与方差

主要解决“学习算法为什么具有这样的泛化性能？”。
“偏差-方差分解”（bias-variance decomposition）：对学习算法的期望泛化错误率进行拆解。（为了探究泛化错误率由哪几部分构成）

• 几个变量：
  测试样本：\(x\)
  \(x\)在数据集中的所有标记：\(y_D\)
  \(x\)在数据集中的真实标记：\(y\)（常量）
  （在有噪声的情况下，\(y_D\)≠\(y\)，包含噪声的标记为\(y_D-y\)）
  训练集\(D\)上学得的模型\(f\)在\(x\)上的预测输出：\(f(x;D)\)
• 公式推导：
  学习算法的期望预测（均值）：

\[\bar{f}(\boldsymbol{x})=\mathbb{E}_{D}[f(\boldsymbol{x} ; D)],（常量，无偏估计） \]

使用样本数相同的不同训练集产生的方差：

\[\operatorname{var}(\boldsymbol{x})=\mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right] \]

噪声：（对噪声标记平方的期望）

\[\varepsilon^{2}=\mathbb{E}_{D}\left[\left(y_{D}-y\right)^{2}\right] \]

期望输出与真实标记的差别称为偏差(bias), 即

\[bias^2(x)=(\bar{f}(x)-y)^2 \]

为便于讨论, 假定噪声期望为零, 即 \(\mathbb{E}_{D}\left[y_{D}-y\right]=0\). 通过简单的多项式展开合 并, 可对算法的期望泛化误差进行分解:

\[\begin{aligned} E(f ; D)=& \mathbb{E}_{D}\left[\left(f(\boldsymbol{x} ; D)-y_{D}\right)^{2}\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[\left(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x})+\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)^{2}\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[2(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y_{D}\right)^{2}\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y+y-y_{D}\right)^{2}\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)^{2}\right]+\mathbb{E}_{D}\left[\left(y-y_{D}\right)^{2}\right] \\ &+2 \mathbb{E}_{D}\left[(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)\left(y-y_{D}\right)\right] \\ =& \mathbb{E}_{D}\left[(f(\boldsymbol{x} ; D)-\bar{f}(\boldsymbol{x}))^{2}\right]+(\bar{f}(\boldsymbol{x})-y)^{2}+\mathbb{E}_{D}\left[\left(y_{D}-y\right)^{2}\right] \end{aligned} \]

对此公式的解析，在南瓜书中极为详细，这里引用其解析公式2.41的解析

于是,

\[E(f ; D)=\operatorname{bias}^{2}(\boldsymbol{x})+\operatorname{var}(\boldsymbol{x})+\varepsilon^{2} \]

泛化错误率/泛化误差 = 偏差（学习算法能力） + 方差（数据的充分性） + 噪声（问题本身难度）
偏差：度量了学习算法期望预测与真实结果的偏离程度，刻画了学习算法本身的拟合能力（偏差越大，拟合能力越差）；
方差：度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化，即刻画了数据扰动所造成的影响（方差越大，数据的变动影响越大）；
噪声：表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界，即刻画了学习问题本身的难度（噪声越大，问题越难）。

偏差-方差窘境（bias-variance）：偏差与方差间的关系并非正相关，而是呈现一种近似负相关的关系，即两者存在冲突。在学习算法拟合不足时，数据的波动对学习器的影响很小；学习算法过拟合时，数据的波动又会产生过多的干扰。

第二章更新时隔了多日，主要还是对基础概率论和统计学知识的欠缺，重温了浙大概率论感觉好很多了，对第二章一些公式的推导相较于第一章明显欠缺了太多了，在之后的学习过程再补齐吧。

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来源： https://www.cnblogs.com/rogz/p/16223067.html

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