标签：排列 题解 个数 显然 5873 你别 交换 转移 逆序

求求你别排队了

先解释下最优策略：对于两种策略，选择期望逆序对个数少的。

首先有几个显然的事实：

1. 如果当前逆序对个数小于操作次数，则可以直接通过交换使逆序对个数归零。
2. 策略必定是先多次随机，然后剩下次数交换。

我们考虑记 f[n][k] 表示对于一个随机的 \(n\) 排列，还能操作 \(k\) 次的期望逆序对个数。

显然，对于一个确定的 \(n\) 排列，设其逆序对个数为 \(m\)。

1. 若 \(m\le k\)，显然可以不断交换，转移到 \(0\)。
2. 若 \(m>k\)，此时不能不断交换到 \(0\)：
   1. 但可以不断交换到逆序对个数为 \(m-k\)。
   2. 当然也可以来一次 BogoSort，即转移到 f[n][k-1]。
   3. 我们对两者取 \(\min\) 即可。

不过这是对于一个确定的 \(n\) 排列。对于随机的显然不可能去枚举每个确定的排列然后转移。

不过我们可以记 C[n][m] 表示逆序对个数为 \(m\) 的 \(n\) 排列的方案数，考虑如何转移：

考虑加入一个数 \(n\)。
\(n\) 可以插在最后一个，逆序对贡献为 \(0\)；倒数第二个，逆序对贡献为 \(1\)；倒数第三个……
显然有下面这个递推式：

\[C_{n,m} = \sum_{i=\max(0,m-n+1)}^m C_{n-1,i} \]

直接转移 \(O(n^4)\)，但相信正常人都会做到 \(O(n^3)\) 或者更低。

不过会发现 C[n][m] 显然会爆 long long。我们考虑不记数量，转记概率 P[n][m]。这样对 f[n][k] 也会更好转移（不用乘 \(n!\) 逆元）

然后可以写出 f[n][k] 的递推式了：

\[f_{n,k} = \sum_{i=k+1}^{\frac{n(n-1)}{2}}P_{n,i}\times\min(f_{n,k-1},i-k) \]

解释一下，这里 \(i\) 是在枚举这个 \(n\) 排列的逆序对个数，对于 \(i\le k\) 显然直接交换得到 \(0\)，对于 \(i>k\) 考虑 BogoSort 和 直接交换 中较小的一个。

显然，f[n][k] 和 f[n-1] 没有半毛钱关系，可以只记一维。

上面这个转移是 \(O(n^2m)\) 的，考虑优化。

右边那个 \(\min\) 显然有搞头，当 \(f_{k-1} < i-k\) 的时候，右边是常值，可以直接拿 P[n][m] 的前缀和乘。

但这样不知道能优化多少。

我们输出一下 f[k]，发现在 \(k\) 较大时 \(f_k\approx0\)，几乎就是 \(O(1)\) 转移了。并且如果把循环次数累加起来输出的话，会发现不超过 \(10^8\)。

所以时间复杂度 \(O(n^3)\sim O(10^8)=O(n^3)\sim O(1)\)。能通过此题。

至于题目事先给了确定的排列，我们直接在第一步选择 BogoSort 转移到 f[m-1] 或者暴力交换转移到 \(\sigma(a_1,a_2,\cdots,a_N)-m\)。

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来源： https://www.cnblogs.com/lingfunny/p/16342401.html

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