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[mine638]

2022-06-01 18:00:10  阅读:108  来源: 互联网

标签:le 匹配 mat int sum mine638 out


题意:给定平面上$n$个点$P_{i}(x_{i},y_{i})$和$n$个向量$(u_{i},v_{i})$,构造排列$\{p_{i}\}$满足——

记$P'_{i}(x_{i}+u_{p_{i}},y_{i}+v_{p_{i}})$,要求$\forall (i,j),d(P_{i},P_{j})\le d(P'_{i},P'_{j})$并最大化$\sum_{i,j}d^{2}(P'_{i},P'_{j})$

$1\le n\le 500$,$|x_{i}|,|y_{i}|,|u_{i}|,|v_{i}|\le 10^{4}$

 

忽略条件,将最大化的式子展开(以$x$坐标为例),即
$$
\sum_{i,j}(x_{i}-x_{j})^{2}+\sum_{i,j}(u_{p_{i}}-u_{p_{j}})^{2}-2\sum_{i,j}(x_{i}u_{p_{j}}+x_{j}u_{p_{i}})+2\sum_{i,j}(x_{i}u_{p_{i}}+x_{j}u_{p_{j}})
$$
显然前三项均为常数,最后一项等价于最大化$\sum_{i=1}^{n}x_{i}u_{p_{i}}$

换言之,若$(i,j)$匹配的价值为$x_{i}u_{j}+y_{i}v_{j}$,则问题即求最大权匹配

同时,若该匹配对$(i,j)$不满足,将条件的式子展开,即
$$
(u_{p_{i}}-u_{p_{j}})^{2}-2(x_{i}u_{p_{j}}+x_{j}u_{p_{i}})+2(x_{i}u_{p_{i}}+x_{j}u_{p_{j}})+...<0\\
(x_{i}u_{p_{i}}+x_{j}u_{p_{j}})-(x_{i}u_{p_{j}}+x_{j}u_{p_{i}})+...<-\frac{(u_{p_{i}}-u_{p_{j}})^{2}+...}{2}\le 0
$$
其中$...$表示$y$坐标对应的式子,进而即交换$p_{i}$和$p_{j}$后权值更大,矛盾

使用KM算法或势能dijkstra优化费用流均可做到$o(n^{3})$,但后者常数较大,无法通过

KM算法

为了使得两部点数相同且为完全图,进行如下处理(本题中已满足)

在点数较少的一部中加入若干个点使点数与另一部相同,将不存在的边权设为$0$

记$e_{(u,v)}$为边权,称一组权值$\{w_{i}\}$合法当且仅当$\forall (u,v),e_{(u,v)}\le w_{u}+w_{v}$

对于合法权值$\{w_{i}\}$,称"相等子图"为仅保留$e_{(u,v)}=w_{u}+w_{v}$的边时所得到的图

性质1:若"相等子图"存在完美匹配,则该匹配即为(原图)最大权匹配

根据条件,任意匹配权值均$\le \sum w$,而该完美匹配恰取到$\sum w$,显然最大

为了方便,初始令左部点权值为最大出边边权,右部点权值为$0$

求"相等子图"的最大匹配,当某个点无法匹配时,考虑对应的交错树:

将左部分为$L_{in}$和$L_{out}$,分别表示在交错树中和不在交错树中,右部同理

性质2:$L_{out}$和$R_{in}$间不存在匹配边,$L_{in}$和$R_{out}$间不存在边

根据交错树的性质,若这些边存在即会被搜索,与"不在交错树中"矛盾

在此基础上,考虑将$L_{in}$中所有点权值$-a$,$R_{in}$中所有点权值$+a$

此时,影响即两点:1.$L_{out}$和$R_{in}$间的边被删除;2.$L_{in}$和$R_{out}$间新增若干条边

另外,为了保证合法性,显然$a$即取最小的能在$L_{in}$和$R_{out}$间新增边的值即可

关于实现,需要对右部的点$v$维护$\min_{u\in L_{in}}w_{u}+w_{v}-e_{(u,v)}$以及取到最小值的$u$

在$u$加入$L_{in}$和点权修改时,显然均可维护,且再次搜索时直接从这类$v$出发即可

时间复杂度为$o(n^{3})$,可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 505
 4 #define ll long long
 5 #define y1 y11
 6 int n,T,x1[N],y1[N],x2[N],y2[N],e[N][N],w[N<<1];
 7 int vis[N],mn[N],pos[N],from[N],mat[N<<1];queue<int>q;
 8 void get_mat(int k){
 9     memset(vis,0,sizeof(vis));
10     memset(mn,0x3f,sizeof(mn));
11     while (!q.empty())q.pop();
12     q.push(k),vis[k]=1;
13     while (1){
14         while (!q.empty()){
15             int k=q.front();q.pop();
16             for(int i=1;i<=n;i++){
17                 if (mn[i]>w[k]+w[i+n]-e[k][i]){
18                     mn[i]=w[k]+w[i+n]-e[k][i],pos[i]=k;
19                 }
20                 if (e[k][i]==w[k]+w[i+n]){
21                     if (!mat[i+n]){
22                         from[i]=k;
23                         while (i)mat[i+n]=from[i],swap(i,mat[from[i]]);
24                         return;
25                     }
26                     if (!vis[mat[i+n]])from[i]=k,q.push(mat[i+n]),vis[mat[i+n]]=1;
27                 }
28             }
29         }
30         int Mn=0x3f3f3f3f;
31         for(int i=1;i<=n;i++)
32             if (!vis[mat[i+n]])Mn=min(Mn,mn[i]);
33         for(int i=1;i<=n;i++){
34             if (vis[i])w[i]-=Mn;
35             if (!vis[mat[i+n]])mn[i]-=Mn;
36             else w[i+n]+=Mn;
37         }
38         for(int i=1;i<=n;i++)
39             if ((!vis[mat[i+n]])&&(!mn[i])){
40                 from[i]=pos[i];
41                 if (!mat[i+n]){
42                     while (i)mat[i+n]=from[i],swap(i,mat[from[i]]);
43                     return;
44                 }
45                 q.push(mat[i+n]),vis[mat[i+n]]=1;
46             }
47     }
48 }
49 int main(){
50     scanf("%d",&n),T=(n<<1)+1;
51     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x1[i],&y1[i]);
52     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x2[i],&y2[i]);
53     for(int i=1;i<=n;i++)
54         for(int j=1;j<=n;j++){
55             e[i][j]=x1[i]*x2[j]+y1[i]*y2[j];
56             w[i]=max(w[i],e[i][j]);
57         }
58     for(int i=1;i<=n;i++)get_mat(i);
59     printf("Yes\n");
60     for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",mat[i]);
61     return 0;
62 }
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来源: https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/16335172.html

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