标签：log 返祖 luogu8331 简单 两条 两点 引理 边权

建立（广义）圆方树，并倍增维护答案信息（路径数和路径边权和）

显然答案信息可以支持合并，进而仅需求出同一个点双内两点的答案信息

结论：点双中存在两点$x,y$，使得整个点双恰由$x,y$间若干条不交的简单路径构成

对点双建立dfs树，并记$s$为简单环的边权和（修改边权前）

性质：若两条返祖边有交（指覆盖的树边），则交的边权和为$\frac{s}{2}$

引理：若一条返祖边同时与两条返祖边有交，则两个交相同

关于引理的证明，对这两个交分类讨论：

1.若这两个交无交，则树边边权和已经达到$s$，该返祖边边权$\le 0$，矛盾

2.若这两个交有交，则两者的交即为所交的两条返祖边的交，边权和同样为$\frac{s}{2}$

如果这两个交不同，必然有严格多于交的部分，该部分边权和$=0$，矛盾

根据此引理，对返祖边的情况分类讨论：

1.若不存在两条返祖边有交，此时的点双必然形如两点一边或环，均显然成立

2.若存在两条返祖边有交，则仅能添加若干个"套"在交上的环，取交的两个端点作为$x,y$即可

关于如何找到$x,y$，即度数$\ge 3$的两点（若不存在任选两点）

在此基础上，答案信息显然容易求出，视实现单次为$o(1)$或$o(\log n)$

总复杂度为$o(n+q\log n)$或$o(n\log n+q\log n)$，可以通过

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来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/16327928.html

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