标签：连通 22 cdot int read CF913F dp MOD
Strongly Connected Tournament
题目描述
解法
设 \(g[i]\) 表示 \(i\) 个点的竞赛图，解决它的比赛总场数期望值。转移考虑一次定向后取出入度为 \(0\) 的那个强连通块，设这个强连通块大小为 \(j\)，就可以得到子问题 \(g[j]\) 和 \(g[i-j]\)
那么如何规划那个入度为 \(0\) 的强连通块？可以拆分成两部分，第一部分是块内和其他点的连边，我们要求块内的点单向连接其他点，但是注意概率是和编号大小关系有关的，所以我们要用 \(dp\) 计算；第二部分是块内自身的连边，需要能形成强连通块。显然这两部分连边带来的概率也是独立的，并且其他连边我们可以一概不考察。
第一部分：按照编号顺序从小到大规划，设 \(dp[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 个点，钦定 \(j\) 个点单向连接其他点的概率：
\[dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\cdot (1-p)^{i-j}+dp[i-1][j]\cdot p^j \]第二部分：设 \(f[i]\) 表示 \(i\) 个点形成强连通分量的概率，转移正难则反法，减去形成更小强联通块的情况：
\[f[i]=1-\sum_{j=1}^{i-1}dp[i][j]\cdot f[j] \]现在我们知道形成大小为 \(j\) 的强连通块的概率是 \(dp[i][j]\cdot f[j]\)，利用这个也可以写出 \(g\) 的转移：
\[g[i]=\sum_{j=1}^{i}dp[i][j]\cdot f[j]\cdot (\frac{j(j-1)}{2}+j(i-j)+g[j]+g[i-j]) \]但是注意到两边都有 \(g[i]\)，所以简单地移项就可以得到最终的转移：
\[g[i]=\frac{dp[i][i]\cdot f[i]\cdot\frac{i(i-1)}{2}+\sum_{j=1}^{i-1}dp[i][j]\cdot f[j]\cdot (\frac{j(j-1)}{2}+j(i-j)+g[j]+g[i-j])}{1-dp[i][i]\cdot f[i]} \]时间复杂度 \(O(n^2)\)
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 2005;
const int MOD = 998244353;
#define int long long
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,a,b,p,p1[M],p2[M],dp[M][M],f[M],g[M];
int qkpow(int a,int b)
{
int r=1;
while(b>0)
{
if(b&1) r=r*a%MOD;
a=a*a%MOD;
b>>=1;
}
return r;
}
signed main()
{
n=read();a=read();b=read();
p=a*qkpow(b,MOD-2)%MOD;p1[0]=p2[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
p1[i]=p1[i-1]*p%MOD;
p2[i]=p2[i-1]*(MOD+1-p)%MOD;
}
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]*p2[i-j]+
dp[i-1][j]*p1[j])%MOD;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
f[i]=(f[i]+MOD-dp[i][j]*f[j]%MOD)%MOD;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int s=dp[i][i]*f[i]%MOD,r=i*(i-1)/2*s%MOD;
for(int j=1;j<i;j++)
{
int t=j*(i-j)+j*(j-1)/2+g[j]+g[i-j];
r=(r+t%MOD*dp[i][j]%MOD*f[j])%MOD;
}
g[i]=r*qkpow(MOD+1-s,MOD-2)%MOD;
}
printf("%lld\n",g[n]);
}
标签：连通,22,cdot,int,read,CF913F,dp,MOD 来源： https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/16326908.html
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