标签：count AtCoder Trio 转换 一组 Beginner text 数对 condition

D - Distinct Trio

本题主要有两种思路：

• 逆向思维，用不加限制的排列数-不符合条件的；
• 将题目转化为求\(A_{i}<A_{j}<A_{k}\)的个数。

这篇文章详解了第一种，那我就来说清楚第二种。

原题目为,给定序列

\[\text{}A= (A_1, A_2, ..., A_n) ,求满足 1 \leq i<j<k \leq N 且A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}的(i, j, k) 的数量 \]

官方题解

\[\text { The condition can be rephrased as follows: find the number of triplets }(i, j, k) \text { such that } A_{i}<A_{j}<A_{k}\\ \]

\[\text { Details：For a triplet }(i, j, k) \text { satisfying the original condition, there exists a unique permutation of } i, j, k \text { such that } A_{i}<A_{j}<A_{k}\\ \text { Conversely, for a triplet }(i, j, k) \text { such that } A_{i}< A_{j}<A_{k} \text {, there exists a unique permutation of } i, j, k \text { such that } i<j<k \text {. } \]

证明

不妨记

\[满足 1 \leq i<j<k \leq N 且A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}的(i, j, k)代表的集合为S_1,\\ 满足 A_{i}<A_{j}<A_{k}的(i, j, k)代表的集合为S_2 \\ count(S_i)表示集合S_i的元素个数 \]

我们要证两个集合的元素个数相等

只要证明

\[\begin{cases} count(S_1) \le count(S_2) &&{(1)} \\ count(S_2) \ge count(S1) &&{(2)} \end{cases} \]

即证明左边任意元素可以转换到右边，右边可以转换到左边即可。

先证(1)式。

假设存在一组数对满足\(S_1\)，那么\(i, j, k\)必然不相等，此时\(A_i, A_j, A_k\)不一定依次增大，但我们总可以通过调整三者顺序的方式，使得\(A_{i'} < A_{j'} <A_{k'}\)。

\(S_1\)中任意一组数对，都可以进行这样的转换，故(1)式成立。

再证(2)式。

方法类似，假设存在一组数对满足\(S_2\)，因为\(A_{i}<A_{j}<A_{k}\)，故\(A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}\)，那么\(i, j, k\)必然不相等，可以通过调整顺序，可以使得\(i< j < k\)。

\(S_2\)中任意一组数对，都可以进行这样的转换，故(2)式成立。

再证(2)式。

综上，两个集合元素个数相等。

标签：count,AtCoder,Trio,转换,一组,Beginner,text,数对,condition
来源： https://www.cnblogs.com/tsrigo/p/16319826.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。