积木画
小明最近迷上了积木画，有这么两种类型的积木，分别为 $I$ 型（大小为 $2$ 个单位面积）和 $L$ 型（大小为 $3$ 个单位面积）：
同时，小明有一块面积大小为 $2 \times N$ 的画布，画布由 $2 \times N$ 个 $1 \times 1$ 区域构成。
小明需要用以上两种积木将画布拼满，他想知道总共有多少种不同的方式？
积木可以任意旋转，且画布的方向固定。
输入格式
输入一个整数 $N$，表示画布大小。
输出格式
输出一个整数表示答案。
由于答案可能很大，所以输出其对 $1000000007$ 取模后的值。
数据范围
$1 \leq N \leq {10}^{7}$。
输入样例：
3
输出样例：
5
样例解释
五种情况如下图所示，颜色只是为了标识不同的积木：
解题思路
这题用状压dp来做，$f \left( {i,j} \right)$表示已经操作完前$i-1$列（前$i-1$列的方格已经被积木全部填满），且第$i$列的状态为$j$的所有方案的集合。可以发现$j$一共又$2^{2}=4$种状态，我们用$00$来表示两个方格都没有积木；$01$表示下面的方格有，上面的方格没有；$10$表示下面的方格没有，上面的方格有；$11$表示两个方格都有积木。
我们同时规定，对于横跨两列的积木，以这个积木最左边的方块所在的列为它进行操作的列。
转移状态如下：
用一个$4 \times 4$的矩阵来表示，如果$a_{ij} = 1$，表示可以从当前列的$i$状态转移到下一列的$j$状态，$a_{ij} = 0$则表示无法转移，根据上图，得到的状态转移矩阵就是
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
AC代码如下：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 const int N = 1e7 + 10, mod = 1e9 + 7;
5
6 int g[4][4] = {
7 {1, 1, 1, 1},
8 {0, 0, 1, 1},
9 {0, 1, 0, 1},
10 {1, 0, 0, 0}
11 };
12 int f[N][4];
13
14 int main() {
15 int n;
16 cin >> n;
17
18 f[1][0] = 1; // 一开始还没有放任何积木，即第1列的状态为0
19 for (int i = 1; i <= n; i++) {
20 for (int j = 0; j < 4; j++) { // 枚举第i行的状态
21 for (int k = 0; k < 4; k++) { // 枚举可以转移到的第i+1行的状态
22 if (g[j][k]) { // 如果可以从第i行的j状态转移到第i+1行的k状态
23 f[i + 1][k] = (f[i + 1][k] + f[i][j]) % mod; // 转移
24 }
25 }
26 }
27 }
28
29 cout << f[n + 1][0]; // 表示前n行已经填满，且第n+1行的状态为0
30
31 return 0;
32 }
可以用滚动数组来优化空间，把$f$数组第一维的大小从$N$优化到$2$，AC代码如下：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 const int N = 1e7 + 10, mod = 1e9 + 7;
5
6 int g[4][4] = {
7 {1, 1, 1, 1},
8 {0, 0, 1, 1},
9 {0, 1, 0, 1},
10 {1, 0, 0, 0}
11 };
12 int f[2][4];
13
14 int main() {
15 int n;
16 cin >> n;
17
18 f[1][0] = 1;
19 for (int i = 1; i <= n; i++) {
20 memset(f[i + 1 & 1], 0, sizeof(f[i + 1 & 1]));
21 for (int j = 0; j < 4; j++) {
22 for (int k = 0; k < 4; k++) {
23 if (g[j][k]) {
24 f[i + 1 & 1][k] = (f[i + 1 & 1][k] + f[i & 1][j]) % mod;
25 }
26 }
27 }
28 }
29
30 cout << f[n + 1 & 1][0];
31
32 return 0;
33 }
当然，也可以从第$i-1$列的状态推到第$i$列的状态，AC代码如下：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 const int N = 1e7 + 10, mod = 1e9 + 7;
5
6 int f[2][4];
7
8 int main() {
9 int n;
10 scanf("%d", &n);
11
12 f[1][0] = 1;
13 for (int i = 2; i <= n + 1; i++) {
14 memset(f[i & 1], 0, sizeof(f[i & 1]));
15 f[i & 1][0] = (f[i - 1 & 1][0] + f[i - 1 & 1][3]) % mod;
16 f[i & 1][1] = (f[i - 1 & 1][0] + f[i - 1 & 1][2]) % mod;
17 f[i & 1][2] = (f[i - 1 & 1][0] + f[i - 1 & 1][1]) % mod;
18 for (int j = 0; j <= 2; j++) {
19 f[i & 1][3] = (f[i & 1][3] + f[i - 1 & 1][j]) % mod;
20 }
21 }
22
23 printf("%d", f[n + 1 & 1][0]);
24
25 return 0;
26 }
参考资料
AcWing 4406. 积木画（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/3799/
标签：10,状态,int,积木,画布,方格 来源： https://www.cnblogs.com/onlyblues/p/16297192.html
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