标签：aligned frac 保平安 推导 sum times binom 代数
也算是开一个新坑？毕竟已经退役了，哪天兴趣来了可能也会点开一些题目看看，这里记录一下那些通过完全不带脑子的代数推导来AC的题目。
#2833. 「JOISC 2018 Day 1」帐篷
首先根据题意，不难去发现有一个 \(O(n^3)\) 的做法，即枚举有多少 \(1 \times 2\) 的，有多少 \(2 \times 1\) 的，以及有多少 \(1 \times 1\) 的。
于是不难得到下面的推导：
\[\begin{aligned}
ans&=\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}\frac{n!}{i!k!(n-i-2j-k)!}\frac{m!}{j!k!(m-2i-j-k)!}\frac{4^kk!}{2^{i+j}}\\
&=\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}\frac{n!}{j!k!(n-(i+j)-k-j)!}\frac{m!}{i!k!(m-(i+j)-i-k)!}\frac{4^kk!}{2^{i+j}}\\
&=n!m!\sum_{k}\frac{4^k}{k!}\sum_{i+j}\frac{1}{2^{i+j}}\frac{1}{j!(n-(i+j)-k-j)!}\frac{1}{i!(m-(i+j)-i-k)!}\\
&=n!m!\sum_{k}\frac{4^k}{k!}\sum_{i+j}\frac{1}{2^{i+j}}\frac{1}{j!(n-(i+j)-k-j)!}\frac{1}{i!(m-(i+j)-i-k)!}\\
&=n!m!\sum_{k}\frac{4^k}{k!}\sum_{i+j}\frac{1}{2^{i+j}(n-(i+j)-k)!(m-(i+j)-k)!}\binom{n-(i+j)-k}{j}\binom{m-(i+j)-k}{(i+j)-j}\\
&=n!m!\sum_{k}\frac{4^k}{k!}\sum_{d}\frac{1}{2^{d}(n-d-k)!(m-d-k)!}\sum_{i}\binom{n-d-k}{i}\binom{m-d-k}{d-i}\\
&=n!m!\sum_{k}\frac{4^k}{k!}\sum_{d}\frac{1}{2^{d}(n-d-k)!(m-d-k)!}\binom{n+m-2d-2k}{d}\\
\end{aligned}
\]
直接枚举 \(k,d\) 即可。
标签：aligned,frac,保平安,推导,sum,times,binom,代数
来源： https://www.cnblogs.com/Guts/p/16293447.html
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