标签:Arrays ll Excellent finv int 111 ans include mod
D - Excellent Arrays
思维 + 组合数学 + 树形结合
\(a_i+a_j=i+j\), 看到这样的形式先移项变成 \(a_i- i=-(a_j-j)\), 令 \(k_i=a_i-i\), 即 \(k_i=-k_j\)
\(k_i=a_i-i\) 即 \(y=x+k_i\), 所以若 \(a_i\) 在 \(y=x+k_i\) 这条直线上,则偏移量就是 \(k_i\)
本题要让 \(F(a)\) 尽量大,就算让一半的 \(a_i\) 的偏移量为 \(k\), 另一半为 \(-k\) (均值不等式)
所以可以枚举偏移量 \(k\), 对应的两条直线 \(y=x+k,\;y=x-k\), 看能否让所有的 \((i,a_i)\) 一半落在第一条直线上,另一半落在第二条直线上
这种情况下每个点 \((i,a_i)\) 的偏移量均可选择 \(k,-k\),且要一半选 \(k\), 令一半选 \(-k\)
若 \(n\) 为偶数,因此有 \(\binom n{\frac n2}\) 个
若 \(n\) 为奇数,设 \(a=\frac n2,\;b=n-a\), 则可以选择是 \(a\) 个 \(k\), 或是 \(a\) 个 \(-k\), 有 \(\binom na+\binom nb=2*\binom na\) 个
这种情况会限制了一些下标的偏移量只能是 \(k\) 或 \(-k\), 因此这些点已经固定了,剩下的没有固定,算出这些对应的方案数,同样需要对 \(n\) 的奇偶性分类套路
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 10;
int n, l, r;
ll fac[N], finv[N];
ll qmi(ll a, ll b)
{
ll ans = 1;
while(b)
{
if (b & 1)
ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return ans % mod;
}
void presolve()
{
fac[0] = finv[0] = 1;
for (int i = 1; i <= N - 10; i++)
fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
finv[N-10] = qmi(fac[N-10], mod - 2);
for (int i = N - 11; i >= 1; i--)
finv[i] = finv[i+1] * (i + 1) % mod;
}
ll C(int n, int m)
{
if (m < 0 || n - m < 0)
return 0;
return fac[n] * finv[m] % mod * finv[n-m] % mod;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
int T;
cin >> T;
presolve();
while(T--)
{
cin >> n >> l >> r;
int a = n / 2, b = n - a;
int t = min(1 - l, r - n);
ll ans = 0;
if (n & 1)
ans = 2 * t * C(n, a) % mod;
else
ans = t * C(n, a) % mod;
for (int k = t + 1; ; k++)
{
int x = max(l + k - 1, 0);
int y = max(n - r + k, 0);
if (x + y > n)
break;
int rest = n - x - y;
if (n & 1)
ans += C(rest, n / 2 - x) + C(rest, n / 2 - y);
else
ans += C(rest, n / 2 - x);
ans %= mod;
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
标签:Arrays,ll,Excellent,finv,int,111,ans,include,mod 来源: https://www.cnblogs.com/hzy717zsy/p/16272898.html
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