标签：AB 个点 组合 满分 cap 笔记 数学 三角形 14

【例1】在边长为2的等边三角形中放5个点，则至少存在两个点，他们之间的距离小于等于1.
【问题分析】如图所示，将等边三角形的三条边的中点连接起来，形成4个边长为1的等边三角形。根据抽屉原理，5个点放在4个三角形中，则至少有1个三角形内（包括其边上）有2个点，而一个边长为1的等边三角形内任意两个点之间的距离都小于等于1。可能你会问，为什么要放在4个三角形中？因为我们要尽量尝试让5个点平均分配在这个等边三角形中，尽可能拉开距离。

【例2】有多少个没有重复数字且能够被5整除的四位奇数？
【问题分析】能够被5整除也就是末尾为0或5，要求是奇数所以只能是5，个位有一种选择；千位不能是0，而且要求没有重复数字，所以不能有5，千位有8种选择；百位不能是5和千位的数字，有8种选择；十位只有7种选择；故总方案数=\(1\times8\times8\times7=448\)

【例3】让8名同学站成一排，要求A、B两名同学互不相邻，一共有多少种排法？
【问题分析】考虑AB的位置，也要知道剩下6名同学也是在排列的。所以先算出8名同学的全排列=8!，再算出AB相邻的情况，用捆绑法，即把AB看为一个人，一共就有7个人，也就是7！，但AB也有前后之分，所以\(7!\times2\)。最后结果就是\(8!-2\times7!=30240\)

【例4】一个班级中有20人学习英语，有10人学习德语，有3人同时学习英语和德语，问班级中一共有几人在学习外语？
【问题分析】这道题很简单啊。容斥原理随便搞。10+20-3=27人

符号：\cap \cup
\(\cap \ \ \cup\)

【例5】一个班级有50名学生，进行了一次语数外考试，有9人语文得满分，12人数学得满分，14人英语得满分。又知道有6人语文、数学同时得满分，3人语文、英语同时得满分，8人英语、数学同时得满分，有2人三门课都得了满分。问：没有一门课得满分的有几人？至少一门课得满分的有几人？
【问题分析】设S为班级所有学生的集合，A、B、C分别表示语文、数学、英语得满分的学生集合。由题意知：|S|=50，而且：
\(|A|=9,|B|=12,|C|=14,|A\cap B|=6,|A\cap C|=3,|B\cap C|=8,|A\cap B\cap C|=2\)

50-（9+12+14） + （6+3+8）-2 = 30

（9+12+14）-（6+3+8）+2=20

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来源： https://www.cnblogs.com/CYLSY/p/16269541.html

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