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(北大附竞赛练习题) $U=\{2020,2021,\cdots,n\}$,其中$n\in \mathbb{N}^\ast$为偶数, $A,B\subseteq U,A\cap B=\emptyset,A\cup B=U$, $A$中的所有数之和等于$B$中的所有数之和.求$n$的最小值.

事实上,此题改编自1990年第31届IMO预选题:

试确定所有的正整数$k$,使得集合$\{X=\{1990,1990+1,\cdots,1990+k\}$可以分成两个不相交的子集$A$与$B$的并集,且$A$中元素之和等于$B$中的元素之和.

**解.**
$U$中所有元素之和为$\displaystyle\frac{\left( n+2020 \right) \left( n-2019 \right)}{2}$.由$A$中的所有数之和等于$B$中的所有数之和可知, $A,B$中的所有数之和均为
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\left( n+2020 \right) \left( n-2019 \right)}{2}=\left( \frac{n}{4}+505 \right) \left( n-2019 \right).$$
因为$n$为偶数, $n-2019$为奇数, 则$n$必为$4$的倍数.

令$n=2020+4m$,用$|U|,|A|,|B|$分别表示$U,A,B$的元素的个数.因为$|U|=4m+1$是奇数,故$|A|\neq |B|$.不妨设$|A|>|B|$,于是$|A|\geqslant 2m+1,|B|\leqslant 2m$,故$A$中的元素之和不小于$\displaystyle\sum_{n=0}^{2m}(2020+n)$; $B$中的元素之和不大于$\displaystyle\sum_{n=2m+1}^{4m}(2020+n)$.由此可得
$$\sum_{n=0}^{2m}(2020+n)\leqslant \sum_ {n=2m+1}^{4m}(2020+n).$$
于是$m^2\geqslant 505$,则$m\geqslant 23,n\geqslant 2020+92=2112$.

可以证明,当$n=4m$且$n\geqslant 2112$时, $U$存在满足题意的子集$A$和$B$.事实上,当$n=2112$时,可令
$$\begin{aligned}
A_1&=\{2020,2020+1,\cdots,2020+46\},\\
B_1&=\{2020+47,2020+48,\cdots,2020+92\}.
\end{aligned}$$
由于$A_1$的元素之和小于$B_1$的元素之和,其差为$96$,因此$A_1$与$B_1$不满足题意.然而,我们可以调整它们的元素,使这种差缩小为$0$.例如,对换$A_1$中的$2020$与$B_1$中的$2068$,所得的集合$A$与$B$满足题意.

当$n> 2112$时,我们仍将$2020+1,\cdots,2020+46,2068$划分给$A$,将$2020,2020+47,2020+49,\cdots,2020+92$划分给$B$.然后对从$2020+93$起的其余$n-2020-92$个数,将每四个相继整数中的最小值和最大值划分给$A$,另外两个中间值划分给$B$.由于$n$是$4$的倍数,故$n-2020-92$也是$4$的倍数,因此可将这$n-2020-92$个数全部划分给$A$和$B$.显然,这样的$A$和$B$满足题意.

综上所述, 当$n=4m$且$n\geqslant 2112$时满足题意,即$n$的最小值为$2112$.

注:事实上, $n=4m+3$也符合题意,此时$n-2019$为$4$的倍数.

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来源： https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/16223781.html

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