标签：frac log min ln dfrac logax 比较

最近有人问我一个问题：

什么时候 logax<x 恒成立？画图感觉是在临界值是 0.144，解析值应该是多少？

并附了一个他查到的 百度知道。

我先给出答案：当 \(a>e^\frac{1}{e}\) 的时候。

下面是解答：

问题：如果 \(\forall x>0,\log_a(x)<x\)，求 \(a\) 的取值范围。

首先根据对数函数的性质，我们知道 \(a\le1\) 时是不满足的。

对于 \(a>1\)，定义两函数的差 \(f(x)=x-\log_ax\)

显然只要 \(f\) 的最小值 \(f_{min}>0\) 那么原式就成立。为了求最小值，先对 \(f\) 求导：

\(f'(x)=1-\dfrac{1}{x\ln a},f''(x)=\dfrac{1}{x^2\ln a}\)

所以 \(f\) 是凸函数（这里凸定义为下凸，凹定义为上凸）。

令 \(f'(x)=0\) 得到 \(x=\dfrac{1}{\ln a}\)

所以 \(f_{min}=\dfrac{1}{\ln a}+\log_a(\ln a)=\dfrac{1+\ln(\ln a)}{\ln a}\)

又因为 \(a>1\)

所以 \(f_{min}>0\Leftrightarrow \ln(\ln a)>-1\)

令 \(\ln(\ln a)=0\) 得 \(a=e^{e^{-1}}=e^\frac{1}{e}\approx1.44467\)

由于 \(\ln(\ln x)\) 是单调递增的，所以 \(a\in(e^\frac{1}{e},+\infty)\)

\(%关键词\)
\(%logax-x logax-x>0 x-logax x>logax x<logax\)

标签：frac,log,min,ln,dfrac,logax,比较
来源： https://www.cnblogs.com/ipnah/p/16182331.html

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