标签：infty frac Ch03 频域 信号 leftrightarrow rm pi Omega
Ch 03 - 连续信号的频域分析
连续傅里叶级数 CFS
CFS 给出了周期信号的分解表示
\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_k{\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0t} \\=A_0+\sum_{k=1}^{+\infty}(a_n\cos \frac{2k\pi t}{T_0} + b_n \sin \frac{2k\pi t}{T_0}) \]用有限（如正弦波叠加型）或无限（如方波）个正弦信号逼近任何一个周期信号。
其中傅里叶级数的系数
\[A_k=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t){\rm e}^{-{\rm j}k\Omega_0t} {\rm d}t \]给出了周期信号中各复指数谐波分量的复振幅。
直流量
\[A_0=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t) {\rm d}t \]给出了一个基波周期内的均值。
连续非周期信号傅里叶变换 CTFT
不妨将非周期信号视为周期无限大的周期信号，则有 CFS：
\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\Omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}k\Omega t} {\rm d}t~{\rm e}^{{\rm j}k\Omega t} \]其中 \(\Omega\rightarrow0\)，换元 \(k\Omega\rightarrow\Omega\) 并将级数改写为积分
\[x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi} \left(\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t} {\rm d}t \right)~{\rm e}^{{\rm j}\Omega t} {\rm d \Omega} \]该式即给出了傅里叶变换
\[X({\rm j}\Omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}{\rm d}t \]和反变换
\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X({\rm j}\Omega){\rm e}^{{\rm j}\Omega t}{\rm d}\Omega \]所以傅里叶变换是傅里叶级数的系数，给出了非周期信号的频谱。由于 \(\Omega\rightarrow0\)，故非周期信号的频谱是连续的。
基本性质
-
线性
-
时移（同号）
\(x(t-t_0)\leftrightarrow X({\rm j}\Omega){\rm e}^{-{\rm j} \Omega t_0}\)
-
频移（变号）
\(x(t){\rm e}^{\rm j\Omega_0t}\leftrightarrow X({\rm j}(\Omega-\Omega_0))\)
-
共轭对称
\(x^*(t)\leftrightarrow X^*(-{\rm j} \Omega)\)
-
尺度变换
\(x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}X({\rm j} \Omega/a)\)
-
时域反转
\(x(-t)\leftrightarrow X(-{\rm j} \Omega)\)
-
卷积
\(x(t)*y(t)\leftrightarrow X({\rm j} \Omega)Y({\rm j} \Omega)\)
-
乘法
\(x(t)y(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X({\rm j} \Omega)*Y({\rm j} \Omega)\)
-
微分
\({\rm d}x(t)/{\rm d} t\leftrightarrow {\rm j} \Omega X({\rm j} \Omega)\)
-
积分
\(\int_{-\infty}^t x(\tau){\rm d}\tau\leftrightarrow \frac{1}{{\rm j} \Omega}X({\rm j} \Omega)+\pi X(0)\delta(\Omega)\)
-
对偶
\(X({\rm j}t)\leftrightarrow 2\pi x(-\Omega)\)
-
奇偶分解
该性质可以直觉地由欧拉公式结合傅里叶变换中的复指数函数推出
\(x_{even}(t)\leftrightarrow {\rm Re}[X({\rm j} \Omega)]\)
\(x_{odd}(t)\leftrightarrow {\rm j}{\rm Im}[X({\rm j} \Omega)]\)
-
帕塞瓦定理
\(\int_{\infty}|x(t)|^2{\rm d}t=\frac{1}{2\pi} \int_{\infty}|X({\rm j}\Omega)|^2{\rm d}\Omega\)
常用变换对
基本函数
- \(\delta(t) \leftrightarrow 1\)
- \(u(t)\leftrightarrow \pi\delta(\Omega)+\frac{1}{{\rm j}\Omega}\)
- \(1\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)\)
- \({\rm e}^{{\rm j}\Omega_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega-\Omega_0)\)
- \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\leftrightarrow \frac{2 \pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-\frac{2\pi}{T}k)\)
指数
- \({\rm e}^{-at}u(t)~(a>0) \leftrightarrow \frac{1}{a+{\rm j}\Omega}\)
- \(t{\rm e}^{-at}u(t)\leftrightarrow\frac{1}{(a+{\rm j} \Omega)^2},\quad{\rm Re\{a\}>0}\)
- \({\rm e}^{-a|t|}~(a>0)\leftrightarrow \frac{2a}{a^2+\Omega^2}\)
三角函数
- \(\sin \Omega_0t \leftrightarrow \frac{\pi}{\rm j}[\delta(\Omega-\Omega_0)-\delta(\Omega+\Omega_0)]\)
- \(\cos \Omega_0t \leftrightarrow \pi[\delta(\Omega-\Omega_0)+\delta(\Omega+\Omega_0)]\)
门函数与方波（\({\rm sinc}(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}\), \({\rm Sa}(x)=\frac{\sin x}{x}\)）
- \(x(t)=1,~|t|<\tau/2~{\rm else}~0 \leftrightarrow \tau{\rm Sa} (\Omega\tau/2)\) （门函数）
- \(-\tau\sim+\tau\) 之间最高为 \(E\) 的三角脉冲：\(E\tau{\rm Sa}^2(\Omega\tau/2)\)
- \(\frac{\sin Wt}{\pi t}=\frac{W}{\pi}{\rm Sa}(Wt)\leftrightarrow X({\rm j\Omega})=1,~|\Omega|<W~{\rm else}~0\)（门函数对偶）
- 周期为 \(T_0\) 的偶函数方波，脉宽 \(\tau\)：\(\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(k\Omega_0\tau/2)}{k}\delta(\Omega-k\Omega_0),~\Omega_0=2\pi/T_0\)
其他
- \({\rm sgn}(t)\leftrightarrow \frac{2}{{\rm j}\Omega}\)
连续 LTI 系统
傅里叶变换为连续 LTI 系统的频域分析提供了方法。
- \(x(t)\rightarrow X({\rm j}\Omega)\)
- 确定系统的 \(H({\rm j}\Omega)\)
- \(Y({\rm j}\Omega)=X({\rm j}\Omega)H({\rm j}\Omega)\)
- \(Y({\rm j}\Omega)\rightarrow y(t)\)
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