\(12\) 个乒乓球，有一个次品，不知道次品是更重还是更轻，用一台无砝码的天平称三次，找出次品，并告知次品到底是重了还是轻了，请问该怎么做？
首先，将乒乓球均分为 \(3\) 组，设为 \(4A,4B,4C\)，
第一次：左边 \(4B\)，右边 \(4A\) 称重。
如果等重：
则次品一定在 \(4C\) 里。
第二次：左边 \(4C\) 里随便选 \(3\) 个，右边 \(4A\) 里随便选 \(3\) 个称重。
如果等重：\(4C\) 中剩下的是次品。
第三次：任选一个正常乒乓球称下就知道次品是轻了还是重了。
否则：我们就会知道次品到底是重了还是轻了。
第三次：只需要从 \(3C\) 里任选两个一左一右称一下即可，如果两个等重，剩下的是次品；否则根据轻重判断出次品。
否则：
则次品一定在 \(4A\) 或者 \(4B\) 里。
第二次：取 \(4B\) 中 \(2\) 个、\(4A\) 中 \(3\) 个、\(C\) 中 \(3\) 个，左边 \(2B2A\)，右边 \(3C1A\) 称重。
如果等重：则次品在剩下的 \(1A2B\) 中。
第三次：取 \(2B\) 称一称，等重则次品为剩下的 \(1A\)，同时根据第一次不等重可以判断出是轻了还是重了；否则在 \(2B\) 中，同样根据根据第一次不等重判断出结果。
否则：情况稍微特殊一点，需要分类讨论一下：如果此时天平的倾斜情况和第一次相同，则次品在左边的 \(2B\) 或者右边的 \(1A\) 中；否则次品在左边的 \(2A\) 中。
证明：反证法，如果第一次和第二次倾斜情况相同，且次品在左边的 \(2A\) 中，那么第一次的倾斜是由右边的 \(4A\) 中的某个次品产生的，第二次的倾斜是由左边的 \(2A\) 中的某个次品产生的，倾斜情况应该相反才对，与前提矛盾，故得证。
接下来，如果倾斜情况相同：
第三次：\(2B\) 一左一右称一下，如果等重，则次品为 \(1A\)，根据第一次不等重判断轻了还是重了；否则，同样根据第一次不等重一眼看出次品。
如果倾斜情况不同：
第三次：\(2A\) 一左一右称一下，根据第一次不等重一眼看出次品。
问题解决了~
换个思路思考，考虑每一次称量的情况可以得到的信息：
第一次：
称 \(11,22\) 肯定是寄的；
称 \(33\)，如果平，可以知道次品在 \(6\) 个中；不平，可以知道次品在 \(6\) 个中，获得一次不对称，\(33\) 时不平获得的信息量更大；
称 \(44\)，如果平，可以知道次品在 \(4\) 个中；不平，可以知道次品在 \(8\) 个中，获得一次不对称，信息量都还行；
称 \(55\)，如果平，可以知道次品在 \(2\) 个中；不平，可以知道次品在 \(10\) 个中，获得一次不对称，不平的话直接寄，范围太大了，所以第一次绝对不能 \(55\)。
称 \(66\)，只能获得一次不对称，弟中之弟。
所以第一次只能 \(33\) 或者 \(44\)。
标签：次品,12,不等重,左边,小球,第一次,倾斜,4A 来源： https://www.cnblogs.com/olderciyuan/p/16138461.html
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