标签：Xk KF 卡尔曼滤波 Phik Bk Hk Qk Rk
卡尔曼经典公式：
\[状态一步预测： \qquad \hat{X}_{k/k-1} = \Phi_{k/k-1}\hat{X}_{k-1} \]\[状态一步预测方差阵： \qquad P_{k/k-1}= \Phi_{k/k-1}P_{k-1}\Phi^T+\Gamma_{k-1}Q_{k-1}\Gamma^T_{k-1} \]\[滤波增益： \qquad K_k = P_{{XZ},k/k-1}P^{-1}_{ZZ,k/k-1}\\ 或者写为:\qquad K_k = P_{k/k-1}H^T_k(H_kP_{k/k-1}H^T_k+R_k)^{-1} \]\[状态估计：\qquad \hat{X} = \hat{X}_{k/k-1} + K_k(Z_k-H_k\hat{X}_{k/k-1}) \]\[状态估计方差阵：\qquad P_k = (I- K_kH_k)P_{k/k-1} \]举例如下：
一维空间的卡尔曼滤波，主要参考严老师教材
\[X_k = 0.95 \cdot X_k-1+W_{k-1}\\ y_k = X_k + V_k \]其中均值0，单位的高斯白噪声
clear;
% 系统参数
Phik = 0.95; Bk = 1.0;Hk = 1.0;
% 噪声参数，分别是标准差和方差
q =1;r = 3;Qk = q*q;Rk = r*r;
len =100;
%含有噪声的标准正太分布
w = q*randn(len,1);v = r*randn(len,1);
xk = zeros(len,1);yk = zeros(len,1);
xk(1) =r*randn(1,1);
for k = 2:len
xk(k) = Phik*xk(k-1) + Bk*w(k);
yk(k)= Hk*xk(k)+v(k);
end
% Kalman 滤波估计，初始状态为0
Xk = 0;
% 第一步的误差，这个数比较大，为很大的正实数？？？意义
Pxk = 100*Rk/(Hk^2*Phik^2);
for k=1:len
[Xk, Pxk, Kk] = kalman(Phik, Bk, Qk, Xk, Pxk, Hk, Rk, yk(k));
res(k,:) = [Xk,Pxk,Kk];
end
% 稳态滤波
ss = [Hk^2*Phik^2 Hk^2*Bk^2*Qk+Rk-Phik^2*Rk -Bk^2*Qk*Rk];
Px = ( - ss(2) + sqrt(ss(2)^2-4*ss(1)*ss(3)) ) / (2*ss(1));
K = Hk*(Phik^2*Px+Bk^2*Qk)/(Hk^2*(Phik^2*Px+Bk^2*Qk)+Rk);
G = (1-K*Hk)*Phik;
% 这里获取真值
Xk_IIR = filter(K, [1 -G], yk);
% 作图
subplot(1,2,1), hold off, plot(sqrt(res(:,2)),'-'), hold on, plot(res(:,3),'r:');
grid
xlabel('\itk'); ylabel('\it\surd P_x_k , K_k');
subplot(122), hold off, plot(yk,'x'),
hold on,
plot(xk,'m:');
plot(res(:,1),'k');
plot(Xk_IIR,'r-.');
grid
xlabel('\itk'); ylabel('\ity_k, x_k, x^\^_k, x^\^_k_,_I_I_R');
function [Xk, Pxk, Kk] = kalman(Phikk_1, Bk, Qk, Xk_1, Pxk_1, Hk, Rk, Yk)
Xkk_1 = Phikk_1*Xk_1;
Pxkk_1 = Phikk_1*Pxk_1*Phikk_1' + Bk*Qk*Bk';
Pxykk_1 = Pxkk_1*Hk';
Pykk_1 = Hk*Pxykk_1 + Rk;
Kk = Pxykk_1*Pykk_1^-1;
Xk = Xkk_1 + Kk*(Yk-Hk*Xkk_1);
Pxk = Pxkk_1 - Kk*Pykk_1*Kk';
end
结果图如下：
结果如下：
误差和滤波增益很快收敛，滤波曲线存在滞后的情况，数字滤波器的相位延迟特点。
标签：Xk,KF,卡尔曼滤波,Phik,Bk,Hk,Qk,Rk 来源： https://www.cnblogs.com/wpf2022/p/16106379.html
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