标签：采样 数字 DFT 信号处理 频域 信号 序列 补零 时域
一、 关于时域采样和频域采样定理
1、A→D
理想时域采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿着频率轴，每间隔采样频率Ωs重复出现一次，并叠加形成的周期函数。（周期性延拓）
- （从信号传输的角度理解：要求信号最高频率不超过采样频率的1/2，才不会产生频谱混叠）
- （从信号A/D设计（匹配接收恢复等）的角度理解：（即奈奎斯特采样定理），要求信号的采样频率大于最高信号最高频率的两倍，才不会产生频谱混叠）
2、D→A
由时域离散信号（幅度连续，即采样信号），恢复时域模拟信号的过程，是时域内插的过程。
- 理想低通滤波器是用g(t) = Sa(Πt/T)=sin(Πt/T) / (Πt/T)函数作为内插函数，T=2Π / Ωs，即：xa(t) = g(t) * x'a(t) 卷积
- 频域上是将原模拟信号的频谱的周期延拓频谱经过理想低通（fh=Π/T）滤波；
3、DTFT→DFT
离散序列信号的DFT（离散傅里叶变换）的两个物理意义：
- 首先是两个从采样角度出发，其一就是：
- N点DFT的幅度特性是由DTFT谱（连续谱）等间隔 N 点采样而来；
- 其二是离散时域序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样；
- 其次是，实质上是离散时域序列的周期性延拓序列的频谱特性（是其周期序列的离散傅里叶级数系数的主值序列）
4、频域采样定理：
由X(k)得到 X(z)或者X（ejw)的过程，是频域内插的过程。
- 描述：由频域离散采样，可以恢复原来的信号（或者原连续频谱函数： 能恢复得到x(n)后，经过Z逆变换/IDTFT）。
- 条件：频域采样点要满足：N ≥ M，N是等间隔采样点数，M是时域信号序列x(n)的总长度;
- 原因：X（k）的IDFT是原时间序列以N为周期的周期延拓序列的主值序列；
- 频域内插公式：（略）
二、 DFT的应用：（学习那么多变换，当然要学习计算机能处理的离散应用了~）
1、分析离散线性时不变系统时，对序列进行滤波处理，需要计算两个序列（长度分别为M、N）的线性卷积，为了提高运算速度，可以用DFT(FFT)计算；
- 先对两个序列补零，序列长度都为L（取 L ≥ N+M-1，满足线性卷积=循环卷积）
- 计算L点的DFT
- 两个DFT序列相乘（得到是两个时域序列的L点的循环卷积的L点DFT ）
- 计算L点的IDFT(得到结果，频域相乘，时域卷积，即为所求线性卷积)
2、DFT对信号进行谱分析
简述：谱分析，就是计算信号的傅里叶变换！
- 对连续信号系统，通过时域采样，DFT进行近似谱分析
- 连续信号时域采样得到x(n)，再对序列进行N点DFT，得到的X(K)是x(n)的傅里叶变换再频率区间[0 , 2Π]的N点等间隔采样；
- 设x(n)和x(k)均为有限长序列；
- 对离散信号（序列）
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