标签：10 ln over 个数 因子 因数 估计 exp 128

根据知乎提问：n的正因子个数d(n)有没有上界公式？ 的某一篇回答：

依次进行正因子个数的上界估计。

根据常规 64 位 C++ 编译器，已定义好的最大可处理数字为无符号 128 位数。

由 \(\lg 2^{128}={128\ln 2\over \ln 10}=38.531839444989586\) 得到，数字大小最大为 \(10^{38}\) 数量级。

代入该公式，设 \(f=1.0660186782978\) ，则 \(d(n)\leq n^{f\over \ln\ln n}\) 。

根据因子成对出现的性质，显然有 \(d(n)=O(n^{1\over 2})\) 。

故接下来对能覆盖到 \(10^38\) 范围内的数字，因子数量复杂度低于该数量级的数字进行讨论。

若使得因子数量复杂度为 \(O(n^{1\over a})\) 级别，则 \({1\over a}={f\over \ln\ln n}\) 得到 \(n=\exp(\exp(af))\) 。

而 \(2^{128}\) 范围内的数字大小，只要求解 \(a\leq {\ln \ln n\over f}=4.207728658657603\) 范围内的数即可。

根据上文分析，写出 Python 代码打表得到：

from math import exp, log, ceil
a = [i/10 for i in range(21, 51)]
f = 1.0660186782978
n = [exp(exp(aa*f)) for aa in a]
n = [ceil(e) for e in n]

标签：10,ln,over,个数,因子,因数,估计,exp,128
来源： https://www.cnblogs.com/JustinRochester/p/16066569.html

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