标签：总结 Atcoder 题目 4x 差分 凸包 做题 取整 贡献

ARC058C

发现 \(x+y+z\) 最多只有 \(17\) ，考虑状压，状态中第 \(i\) 位表示是否可以得到和为 \(i\) 的后缀。
注意一下每个位置是放 \(1\) ~ \(10\) 而非 \(0\) ~ \(9\) 。

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区间异或和不好搞，差分一下设 \(w_i = XOR_{k=1}^i k\) 。
容易发现规律： \(w_{4x}=4x\) , \(w_{4x+1}=1\) , \(w_{4x+2}=4x+3\) , \(w_{4x+3}=0\)
于是就可以快速计算了。

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令 \(a_i\) 是在 \(i\) 处的操作次数，则有

\[2a_i - a_{i-1} - a_{i+1} = -A_i \]

注意到这个形式类似差分，所以设 \(b\) 是 \(a\) 的差分，由上述式子可以得到 \(b_2\) ~ \(b_n\) ，又因为 \(\sum b_i=0\) 可以算出 \(b_1\) ，接下来找一个最小的 \(a_1\) ，使所有 \(a_i\) 都非负即可。

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有些许恶心。
跟“鱼戏团表演”可以说是非常相似了。
观察题目性质，当操作次数趋于无穷时，最后的结果会像是一个凸包的形式。
如果只是这样就没有什么恶心的地方了，直接求凸包算就行。
但是！
问题在于题目是取整的，这就导致了得到的结果实际上应该是折线。
对于“凸包”上的两个点，如何算他们之间的贡献呢？
很容易犯的错误是直接把直线画出来，然后对每个点下取整。
我们发现的问题在于，“下取整”这一操作会使直线发生改变，从而影响后面的答案。
稍微玩一下就能确定算贡献的过程，如果区间是 \((l,r)\) ，且 \(a_l < a_r\) ，就应该从 \(l\) 开始向右一个一个求贡献， \(f_i\) 应该由 \(f_{i-1}\) 和 \(f_r\) 得到，而非 \(f_{l}\) 和 \(f_r\) 。
正因为这一奇特的求贡献方式，我们要求的“凸包”长歪了。
联系题目性质，知道求凸包时斜率应下取整

标签：总结,Atcoder,题目,4x,差分,凸包,做题,取整,贡献
来源： https://www.cnblogs.com/Kelvin2005/p/15957245.html

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