标签：二分 匹配 int memset maxn 图全解 match
二分图全解
算法思想
二分图的定义：如果一个图的所有顶点可以分为 X X X和 Y Y Y两个集合，且对于所有边来说，边的两点都不属于同一集合，那么这个图就是二分图
更准确的定义如下：
G
=
(
V
,
E
)
G=(V,E)
G=(V,E)为无向图，
V
V
V为点集，
E
E
E为边集，如果
V
V
V可被分割成两个互不相交的子集
(
V
1
,
V
2
)
(V_1,V_2)
(V1,V2)，且图中每条边
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)两端点分别属于这两个子集，则称
G
G
G为一个二分图
二分图的相关概念如下：
- 匹配：一个只有边的集合，集合中任意两条边无公共点，在一个图的所有匹配中，边数最多的匹配叫做该图的最大匹配
- 独立集：两两互不相连的节点集合
- 边覆盖：任意节点都至少是某条边端点的边集合，也就是不存在孤立点
- 点覆盖：任意边都至少有一个点的点集合，即不存在孤立边
- 最小路径覆盖：在一个DAG中，如果存在一个简单路集合（顶点不相交），图的每个顶点都在路上，则该路为一个路径覆盖，最小路径覆盖为所含路径条数最少的路径覆盖
二分图染色
对于给定的一个图，首先需要判断它是否为二分图才能进行相关操作，对于一个无向图来说，当且仅当不存在有奇数条边构成的环时，它才是二分图，这是充要条件，举个例子简单证明
如图，当为奇数环时，根据二分图的定义，可以看到？处无法被赋值
根据二分图的性质可以知道，所有的点被分成了两个集合，那么相连的两个点必然不属于同一集合，因此，可以从任意一点开始，将其设置为1，其邻接点必然为0，以此类推，如果最后出现无法赋值的点，那么必然不是二分图，可以用DFS实现
代码
bool DFS(int u,int c)
{
col[u]=c;
for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(col[v]==col[u])return 0;
if(col[v]==-1&&!DFS(v,!col[u]))return 0;
}
return 1;
}
当然，如果给的图不是连通图，那么就需要对每个未遍历点进行判断
for(int i=1;i<=n;i++)
if(col[i]==-1)if(!DFS(i,1))return 0;
二分图相关定理
- König: 最小点覆盖=二分图最大匹配
- 二分图最小边覆盖: 顶点数-二分图最大匹配
- 最小路径覆盖: 顶点数-二分图最大匹配数
- 最大独立集: 总点数-二分图最大匹配数
求出最小路径覆盖集合只需要沿着增广路输出即可，输出所有的匹配路
代码
void print(int u)
{
u+=n;//初始化
do
printf("%d ",u=u-n);
while(vis[u]=1,u=match[u]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!vis[i])print(i);
最小可相交路径覆盖：Floyd求原图传递闭包
最大匹配算法
首先说明最大匹配的概念，最大匹配指的是在二分图中包含边数最多的一组匹配，是二分图的一类问题，如图，给出了可匹配的关系，求最大匹配可以将原图转换为最大流问题，添加源点和汇点，边权设为1，然后直接跑最大流即可，时间复杂度为
O
(
V
2
E
)
O(V^2E)
O(V2E)，但是，给出的图是二分图，可以利用二分图的性质求解，下面为用二分图性质求解的匈牙利算法和KM算法
匈牙利算法
首先给出交替路和增广路概念
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边，…形成的路径为交替路
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个与起点不同的未匹配点，则这条交替路则称为增广路
注意二分图与求解最大流中的增广路定义不同
给出一个例子进行简单的算法思路说明，这是一个简单的图例，给出了可匹配关系，从节点1开始寻找可匹配点，1可以找到4，之后2再找可匹配点5
但是对于节点3，它的唯一可匹配点只有4，4此时已经和1匹配，那么尝试将1与其他的节点匹配
1可以与5匹配，但是5已经与2匹配，那么尝试将2与其他的节点匹配
2可以与6匹配，所以最后就可以得到最大匹配的结果
这就是匈牙利算法基本思路，根据概念来看，增广路的存在代表可以通过修改当前匹配来增加新的匹配，增广路的本质就是一条路径的起点和终点都是未配对的点，在上述过程中，匹配关系有时需要更改，从已匹配变成未匹配，这个操作被称为“反色”，易证“反色”后的匹配仍然合法且大于等于原匹配
算法步骤：
- 初始化节点，从左集合中首个点$$开u始检查
- 检查 u u u的邻接点 v v v，若 v v v未匹配，直接匹配两点，否则从 v v v的邻接点出发找增广路，存在增广路就更新匹配关系，即反色，然后匹配 u , v u,v u,v
- 找不到最大匹配，即可得到一个最大匹配
代码
bool maxmatch(int u) {//传入左集合节点
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {//BFS
int v=e[i].to;
if(!vis[v]) {//如果没访问过
vis[v]=1;
if(!match[v]||maxmatch(match[v]))//如果可以匹配
{
match[v]=u;//设定匹配
return 1;
}
}
}
return 0;
}
KM算法
KM算法的目的是求出二分图的最大权完美匹配，也就是二分图的两个点集大小需要相同，一般来说，二分图不可能保证两边一定大小相同，所以需要将个数少的一边补点，再将不存在的边权设为0
接下来是与KM相匹配的概念与定理
可行顶标： 给每个节点有个点权 f ( i ) f(i) f(i)，对于所有的边 u − v u-v u−v，满足所有的边权 w ( u , v ) ≤ f ( u ) + f ( v ) w(u,v)\le f(u)+f(v) w(u,v)≤f(u)+f(v)
相等子图： 在一组可行顶标下原图的生成子图，包含所有点但只满足 w ( u , v ) = f ( u ) + f ( v ) w(u,v)= f(u)+f(v) w(u,v)=f(u)+f(v)的边 u − v u-v u−v
如果相等子图有完美匹配，则其必然为原图的最大权完美匹配
根据定理，求解最大权完美匹配过程中，需要不断调整可行顶标，使得相等子图拥有完美匹配
一开始不可能直接确定好所有的顶标，所以需要反复确认，修改顶标，当一条边满足 w ( u , v ) = f ( u ) + f ( v ) w(u,v)= f(u)+f(v) w(u,v)=f(u)+f(v)，代表其为相等子图的一条边，将其加入图中
设二分图左点集合顶标为 l ( i ) l(i) l(i)，右集合顶标为 r ( i ) r(i) r(i)，初始化时，因为可行顶标需要满足点权和大于等于边权，不妨设 l ( i ) l(i) l(i)全部为0， r ( i ) r(i) r(i)为对应点所连的边权最大值
调整顶标过程中，目的是构造一个相等子图，也就是不断的向原先构造的子图中添加新边，使得 l ( i ) + r ( j ) = w ( i , j ) l(i)+r(j)=w(i,j) l(i)+r(j)=w(i,j)，那么在初始化之后，需要找到一条边 u − v u-v u−v使得 u u u不在二分图最大匹配中，而 v v v在二分图最大匹配中（u点权为0，v点权为最大边权，为了获得最大匹配，默认以v为基准匹配）
对于这样的一条边，我们希望将其加入正在构造的相等子图，就要使得边满足条件，那么顶标和需要减少 △ x = l ( u ) + r ( v ) − w ( u , v ) △x=l(u)+r(v)-w(u,v) △x=l(u)+r(v)−w(u,v)
因为默认 v v v在最大匹配中，改变其点权会影响其他的边（比如边权最大的那条边，如果 v v v点权变了，那么边权最大的那条边的两端点可能就不满足可行顶标的定义了），所以只对 u u u进行操作，也就是 l ( u ) + △ x l(u)+△x l(u)+△x或者 r ( u ) − △ x r(u)-△x r(u)−△x（ u u u不一定就在左边），为了放置修改完导致部分顶标不符合定义，所以每次找的 △ x △x △x尽量小
代码（假 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)）
bool maxmatch(int u) {
visr[u]=1;//
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(visl[i])continue;
int d=l[i]+r[u]-gragh[u][i];//获得缺的值
if(d==0) {//代表这条边已经满足了相等子图的条件
visl[u]=1;//代表可能可以产生匹配
if(!match[i]||maxmatch(match[i])) {
match[i]=u;
return 1;
}
} else delta[i]=min(delta[i],d);//更新最小差值
}
return 0;
}
int KM() {
memset(match,0,sizeof(match));//清空匹配
memset(l,0,sizeof(l));//清空左部点集
for(int i=1; i<=n; i++) {//初始化右部顶标，默认为边权最大
r[i]=gragh[i][1];
for(int j=2; j<=n; j++)
r[i]=max(r[i],gragh[i][j]);
}
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=n; j++)delta[j]=inf;
while(1) {
memset(visl,0,sizeof(visl));//清空访问
memset(visr,0,sizeof(visr));//同上
if(maxmatch(i))break;
//继续进行代表i未收录，未匹配成功，需要调整顶标
int d=inf;
for(int j=1; j<=n; j++)
if(!visl[j])d=min(d,delta[j]);
//visl[j]为1代表已经在构造的增广路上，已经满足d为0了
//已经无法再提供可以增加相等子图的差值，重复取会死循环
for(int j=1; j<=n; j++) {
//这里能修改，是因为匹配失败了
//也就是经过的点的顶标并不能满足i在最大匹配内，需要尝试修改
if(visr[j])r[j]-=d;
if(visl[j])l[j]+=d;
else delta[j]-=d;//因为r[j]增加了，差值变小了
}
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)res+=gragh[match[i]][i];//累和匹配边
return res;
}
二分图匹配的复杂度最差为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)（maxmatch函数），而while(1)循环的最多可以到 O ( n ) O(n) O(n)（尝试与所有节点进行构造匹配），因此整个算法的复杂度最高可达到 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)
可以发现，在修改边的时候，因为每次DFS的起点相同，所以可能每次只修改了一条边，因此有重复搜索的情况，那么将DFS改成BFS，就可以减少搜索的重复性，减少复杂度
代码（ O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)）
int pre[maxn],match[maxn],delta[maxn],graph[maxn][maxn],n,m,res,l[maxn],r[maxn];
int a[maxn],p[maxn],b[maxn],c[maxn];
bool visl[maxn],visr[maxn];
void maxmatch(int u) {
int x,y=0,d,id=0;
memset(pre,0,sizeof(pre));//pre用来记录上一条边
for(int i=1; i<=n; i++)delta[i]=inf;//初始化右点集
match[y]=u;//初始化匹配关系
while(1) {
x=match[y];
d=inf;//初始化
visr[y]=1;//访问
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(visr[i])continue;
if(delta[i]>l[x]+r[i]-graph[x][i]) {//能否加一条边x-i
delta[i]=l[x]+r[i]-graph[x][i];
pre[i]=y;//连接一条未匹配边
}
if(delta[i]<d) {//找到一条修改值最少的点
d=delta[i];//记录数值
id=i;//记录编号
}
}
for(int i=0; i<=n; i++)
if(visr[i])l[match[i]]-=d,r[i]+=d;//尝试修改
else delta[i]-=d;//该边不是最短边，减去后可能成为最短边
y=id;
if(match[y]==-1)break;//无法继续匹配
}
while(y) {//构造匹配
match[y]=match[pre[y]];
y=pre[y];
}
}
int KM() {
memset(match,-1,sizeof(match));//清空匹配
memset(l,0,sizeof(l));
memset(r,0,sizeof(r));
for(int i=1; i<=n; i++) {
memset(visr,0,sizeof(visr));
maxmatch(i);//BFS左点集
}
for(int i=1; i<=n; i++)
if(match[i]!=-1)res+=graph[match[i]][i];
return res;
}
二分图博弈
二分图博弈为一类博弈模型，与二分图的最大匹配有关，其基本模型如下：给出一张二分图和起点，博弈双方轮流操作，每次只能选择与上次被选择点相邻的点，且不能选择已经访问过的点，无法继续操作者判负
设起点为S，有一个结论：如果二分图的任意一个最大匹配一定有S，即S为最大匹配必须点，那么先手必胜，否则先手必败
下面来证明这个结论
如图，给出了一个最大匹配，假设起点S=1，那么按照策略，先手选择2，此时，后手要么无点可选，要么选3（如果2-3存在的话，之后会证明这一点），又到了先手从3开始选择，可以看到，只要先手一直按照寻找匹配点的策略选下去，到最后总会有后手无点可选
如果起点不属于最大匹配中，先手必输，因为先手从起点的下一步必是图中的匹配点之一（之后证明），那么情况和上一段完全相同，只不过是后手按照匹配点的策略来选，到最后总会使先手无点可选
现在进行更详细的证明，如果最大匹配一定包括S，按照先前所说，后手不可能选到最大匹配之外的点，如图，如果后手可以选到非匹配点，例如图中的9，那么图中的最大匹配方案就不止一个：1-2,3-4,5-6,7-8和1-2,4-9,5-6,7-8都可以作为最大匹配，违背了最大匹配一定包括S
如果最大匹配不一定包括S，在这种情况下，可能是有唯一最大匹配，但是S并不在最大匹配中，或者S并不是所有最大匹配的必须点，如图，从9开始，先手的下一步必然是匹配点，否则的话
就会出现下图所属的情况，存在一条边9-10不属于最大匹配，显然，这是不合理的，因为9和10都不属于匹配点，但是它们能够构成匹配，原先的最大匹配就不是最大的了，因此矛盾
接下来的问题就是如何确定起点是否属于最大匹配，方法很简单，直接对有起点和没有起点的原图做最大匹配，如果匹配数相同，代表起点不一定在最大匹配上，否则一定在最大匹配上，可以采用Dinic和匈牙利求解
跑Dinic时不用根据是否有起点建两次图，而是建图的时候保存涉及起点的边，跑完一次Dinic后再建边，查看Dinic是否增加流量
总结一下，对于二分图博弈，分两种大的情况来考虑（实际上是一种情况，但是这样分开更清晰）
- 有起点
有起点的情况下，需要判断起点是否一定属于最大匹配，即为最大匹配必须点，如果是，那么先手必胜，否则先手必输 - 无起点
无起点的情况下，先手需要选择起点，如果先手先选择最大匹配点，后手只需要选择对应的最大匹配的匹配点即可，先手必败，如果图为完全匹配，先手一定会选择最大匹配点，如果不是完全匹配，先手选择非最大匹配点或最大匹配非必须点，那么后手总会首先到最大匹配，所以先手可胜
训练
LuoguP1330
题目大意：略
思路：由题设可知，河蟹之间是不能相连的，那么所有的河蟹可以被划分成两个集合，这恰好符合二分图，那么直接判断给出的图是否是二分图即可，如果不是则无解，若是则选取颜色少的节点，由于题目不保证连通，所以要对每个连通块都进行二分图染色
代码
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=4e5+10;
int n,m,cnt,res,head[maxn/10],col[maxn/10],dress[2];
struct node {
int next,to;
} e[maxn<<1];
void Add(int from,int to) {
e[++cnt].to=to;
e[cnt].next=head[from];
head[from]=cnt;
}
bool DFS(int u,int c) {
col[u]=c;
dress[c]++;
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {
int v=e[i].to;
if(col[v]==col[u])return 0;
if(col[v]==-1&&!DFS(v,!col[u]))return 0;
}
return 1;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cin >>n>>m;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(col,-1,sizeof(col));
while(m--) {
int u,v;
cin >>u>>v;
Add(u,v);
Add(v,u);
}
for(int i=1; i<=n; i++)
if(col[i]==-1) {
if(!DFS(i,1)) {
res=0;
break;
}
res+=min(dress[0],dress[1]);
dress[0]=dress[1]=0;
}
res==0? cout <<"Impossible": cout <<res;
return 0;
}
LuoguP1285
题目大意：略
思路：很重要的一点，如果两个队员不是双向的，那么这两个人一定不能在同一组，因此，在建图的时候，每个点与必不能同一组的点建边，这样的话整个图就可以分成两个点集，也就是二分图，经过染色，整个图也就被分成的多个拥有黑白相间的连通块，显然，每个块只能取全黑或全白，这样的话，整个模型就可以抽象成01背包模型，有k个连通块，每个连通块要么全选黑，要么选白，要求最后分组的差最小，这里的 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]可以解释为在第i个连通块上，能否选j个人，其余见代码
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,acc[121][2],pre[121][121],res,col[121],block,out[121];
bool gragh[121][121],dp[121][121],mark[121];
vector<int>path[121][2];
void DFS(int u,int f,int c) {
acc[block][col[u]=c]++;//记录下第block个连通块颜色c的个数
path[block][c].push_back(u);//记录下第block个连通块颜色c有哪些
for(int i=1; i<=n; i++)
if(!gragh[i][u]&&i!=f&&u!=i) {
if(col[i]==-1)DFS(i,u,c^1);//如果相邻点未染色，取反色
else if(col[i]==c) {
cout <<"No solution";
exit(0);
}
}
}
int main() {
cin >>n;
memset(col,-1,sizeof(col));
for(int i=1; i<=n; i++) {
int k;
while(cin >>k&&k)gragh[i][k]=1;
}
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=i+1; j<=n; j++)
if(gragh[i][j]!=gragh[j][i])gragh[i][j]=gragh[j][i]=0;
//如果彼此之间不能到达，不连边
for(int i=1; i<=n; i++)
if(col[i]==-1) {//没染色
block++;
DFS(i,0,1);
}
dp[0][0]=1;//初始化
for(int i=1; i<=block; i++)//多个连通块，可以等价于block个物品
for(int j=0; j<=n/2; j++) {//容量
int p=j-acc[i][0];//acc[i][0]为前i个连通块可以拿出0的个数，p为达到j需要的个数
if(p>=0&&dp[i-1][p])dp[i][j]=1,pre[i][j]=0;
//如果需要多的0，并且前i-1个块有，代表当前装j个也能满足
//pre记录先前的转移状态，装的是0
p=j-acc[i][1];//
if(p>=0&&dp[i-1][p])dp[i][j]=1,pre[i][j]=1;
//同上
}
for(int i=n/2; i>=0; i--)
if(dp[block][i]) {//存在一个解使得容量差小
res=i;
break;
}
int t=res;
for(int i=block; i>0; i--) {//遍历每个块，回溯求解
for(int j=0; j<path[i][pre[i][t]].size(); j++)
//遍历块，将颜色为pre[i][t]的节点录入
mark[out[++out[0]]=path[i][pre[i][t]][j]]=1;
t-=acc[i][pre[i][t]];//减去已经使用的块数量
}
sort(out+1,out+out[0]+1);//根据题意排序输出
cout <<out[0]<<" ";
for(int i=1; i<=out[0]; i++)
cout <<out[i]<<" ";
cout <<endl<<n-out[0]<<" ";
for(int i=1; i<=n; i++)
if(!mark[i])cout <<i<<" ";
return 0;
}
POJ1274
题目大意：牛棚与牛直接存在对应关系，每只牛对牛棚有自己的喜好，一个牛棚只能分配给一头牛，一头牛只能分给一个牛棚，计算最多能将牛分配给牛棚多少头
思路：二分图问题，根据对应关系构造二分图然后用匈牙利算法算最大匹配即可
代码
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=4e4+10;
int n,m,cnt,head[500],match[500];
struct node {
int next,to;
} e[maxn<<1];
void Add(int from,int to) {
e[++cnt].to=to;
e[cnt].next=head[from];
head[from]=cnt;
}
bool vis[500];
bool maxmatch(int u) {//传入左集合节点
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {//BFS
int v=e[i].to;
if(!vis[v]) {//如果没访问过
vis[v]=1;
if(!match[v]||maxmatch(match[v]))//如果可以匹配
{
match[v]=u;//设定匹配
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main() {
while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
int res=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(match,0,sizeof(match));
cnt=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
int s;
scanf("%d",&s);
while(s--) {
int x;
scanf("%d",&x);
Add(i,x+n);
//Add(x+n,i);这里不用建双边，因为确定下来匹配关系后可以根据匹配反推
}
}
for(int i=1; i<=n; i++) {
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(maxmatch(i))res++;
}
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}
POJ1325
题目大意：给出两条机器A，B，A有n种工作模式（0~ n-1），B有m种(0~ m-1)，一开始都在工作模式0下工作，现在给定k个作业，给出每个作业三元组约束 ( i , x , y ) (i,x,y) (i,x,y)，表示可以在A上以x处理或者在B上以y处理，完成工作需要重启以修改机器工作模式，需要安排作业的顺序并分配适当机器使重启次数最少，输出最少的次数
思路：一开始在工作模式0工作，因此可以在工作公式0工作的可忽略，求最少的重启次数，等价于求二分图的最小点覆盖数，等价于求最大匹配，跑匈牙利算法即可
代码
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=4e4+10;
int n,m,cnt,k,head[500],match[500];
struct node {
int next,to;
} e[maxn<<1];
void Add(int from,int to) {
e[++cnt].to=to;
e[cnt].next=head[from];
head[from]=cnt;
}
bool vis[500];
bool maxmatch(int u) {//传入左集合节点
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {//BFS
int v=e[i].to;
if(!vis[v]) {//如果没访问过
vis[v]=1;
if(!match[v]||maxmatch(match[v])) { //如果可以匹配
match[v]=u;//设定匹配
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main() {
while(~scanf("%d",&n)&&n) {
scanf("%d%d",&m,&k);
int res=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(match,0,sizeof(match));
cnt=0;
while(k--) {
int i,x,y;
scanf("%d%d%d",&i,&x,&y);
if(x==0||y==0)continue;//跳过工作模式0
Add(x,y+n);
}
for(int i=0; i<n; i++) {
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(maxmatch(i))res++;
}
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}
LuoguP1263
题目大意：略
思路：如果没有墙，把每一行看做左集合，列为右集合，对于空地将所在行与列连边，匈牙利一遍即可，但是墙将行列割裂开来，因此需要将割裂产生的连通块视做单独的个体，也就是修改遍历范围，具体见代码
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e4+10;
int m,n,cnt,maze[250][250],match[maxn],head[maxn],res,acch,accz;
int col[maxn],parth[250][250],partz[250][250];
bool vis[maxn];
struct node {
int next,to;
} e[maxn<<1];
void Add(int from,int to) {//链式前向星
e[++cnt].next=head[from];
e[cnt].to=to;
head[from]=cnt;
}
bool maxmatch(int u) {//最大匹配
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {
int v=e[i].to;
if(!vis[v]) {
vis[v]=1;
if(!match[v]||maxmatch(match[v])) {
match[v]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cin >>n>>m;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(col,-1,sizeof(col));
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
cin >>maze[i][j];
for(int i=1; i<=n; i++)maze[i][0]=2;//处理边界值
for(int i=1; i<=m; i++)maze[0][i]=2;//同上
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(maze[i][j]<2) {//如果不是墙
if(maze[i][j-1]>1)parth[i][j]=++acch;//前一个点是墙，产生新的连通块
else parth[i][j]=parth[i][j-1];//不是墙，合并连通块
}
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(maze[i][j]<2) {
if(maze[i-1][j]>1)partz[i][j]=++accz;//前一个点是墙，产生新的连通块
else partz[i][j]=partz[i-1][j];//不是墙，合并连通块
}
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(maze[i][j]==0)Add(parth[i][j],partz[i][j]);//如果是空地，左右建边
for(int i=1; i<=acch; i++) {//遍历每个列连通块
for(int j=1; j<=accz; j++)vis[j]=0;
res+=maxmatch(i);//统计匹配量
}
cout <<res<<endl;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)//match数组记录了所有匹配边
if(maze[i][j]==0&&parth[i][j]==match[partz[i][j]])cout <<i<<" "<<j<<endl;
//空地，且行对应列？
return 0;
}
2019icpc南京J
题目大意：略
思路：KM模板题，但是需要用到真正的 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)模板
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=512;
int pre[maxn],match[maxn],delta[maxn],graph[maxn][maxn],n,res,l[maxn],r[maxn];
int a[maxn],p[maxn],b[maxn],c[maxn];
bool visl[maxn],visr[maxn];
void maxmatch(int u) {
int x,y=0,d,id=0;
memset(pre,0,sizeof(pre));//pre用来记录上一条边
for(int i=1; i<=n; i++)delta[i]=inf;//初始化右点集
match[y]=u;//初始化匹配关系
while(1) {
x=match[y];
d=inf;//初始化
visr[y]=1;//访问
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(visr[i])continue;
if(delta[i]>l[x]+r[i]-graph[x][i]) {//能否加一条边x-i
delta[i]=l[x]+r[i]-graph[x][i];
pre[i]=y;//连接一条未匹配边
}
if(delta[i]<d) {//找到一条修改值最少的点
d=delta[i];//记录数值
id=i;//记录编号
}
}
for(int i=0; i<=n; i++)
if(visr[i])l[match[i]]-=d,r[i]+=d;//尝试修改
else delta[i]-=d;//该边不是最短边，减去后可能成为最短边
y=id;
if(match[y]==-1)break;//无法继续匹配
}
while(y) {//构造匹配
match[y]=match[pre[y]];
y=pre[y];
}
}
int KM() {
memset(match,-1,sizeof(match));//清空匹配
memset(l,0,sizeof(l));
memset(r,0,sizeof(r));
for(int i=1; i<=n; i++) {
memset(visr,0,sizeof(visr));
maxmatch(i);//BFS左点集
}
for(int i=1; i<=n; i++)
if(match[i]!=-1)res+=graph[match[i]][i];
return res;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cin >>n;
for(int i=1; i<=n; i++)cin >>a[i];
for(int i=1; i<=n; i++)cin >>p[i];
for(int i=1; i<=n; i++)cin >>b[i];
for(int i=1; i<=n; i++)cin >>c[i];
//录入数据
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
for(int k=1; k<=n; k++)
if(b[i]+c[j]>a[k])graph[i][j]+=p[k];//如果可以打败，建边
cout <<KM();
return 0;
}
/*
4
1 2 3 4
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 1 2
*/
LuoguP6577
题目大意：略
思路：KM模板题
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 1e18//这里无穷大0x3f3f3f3f小了
using namespace std;
const int maxn=512;
int pre[maxn],match[maxn],delta[maxn],graph[maxn][maxn],n,m,res,l[maxn],r[maxn];
int a[maxn],p[maxn],b[maxn],c[maxn];
bool visl[maxn],visr[maxn];
void maxmatch(int u) {
int x,y=0,d,id=0;
memset(pre,0,sizeof(pre));//pre用来记录上一条边
for(int i=1; i<=n; i++)delta[i]=inf;//初始化右点集
match[y]=u;//初始化匹配关系
while(1) {
x=match[y];
d=inf;//初始化
visr[y]=1;//访问
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(visr[i])continue;
if(delta[i]>l[x]+r[i]-graph[x][i]) {//能否加一条边x-i
delta[i]=l[x]+r[i]-graph[x][i];
pre[i]=y;//连接一条未匹配边
}
if(delta[i]<d) {//找到一条修改值最少的点
d=delta[i];//记录数值
id=i;//记录编号
}
}
for(int i=0; i<=n; i++)
if(visr[i])l[match[i]]-=d,r[i]+=d;//尝试修改
else delta[i]-=d;//该边不是最短边，减去后可能成为最短边
y=id;
if(match[y]==-1)break;//无法继续匹配
}
while(y) {//构造匹配
match[y]=match[pre[y]];
y=pre[y];
}
}
int KM() {
memset(match,-1,sizeof(match));//清空匹配
memset(l,0,sizeof(l));
memset(r,0,sizeof(r));
for(int i=1; i<=n; i++) {
memset(visr,0,sizeof(visr));
maxmatch(i);//BFS左点集
}
for(int i=1; i<=n; i++)
if(match[i]!=-1)res+=graph[match[i]][i];
return res;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cin >>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++)//注意初始化
for(int j=1; j<=n; j++)
graph[i][j]=-inf;
while(m--) {
int x,y,w;
cin >>x>>y>>w;
graph[x][y]=w;
}
cout <<KM()<<endl;
for(int i=1; i<=n; i++)
cout <<match[i]<<" ";
return 0;
}
LuoguP4014
题目大意：略
思路：最大总收益直接用KM求解，最小收益需要对边权取反然后跑KM，跑完之后对结果取反即可
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 1e18
using namespace std;
const int maxn=512;
int pre[maxn],match[maxn],delta[maxn],graph[maxn][maxn],n,m,res,l[maxn],r[maxn];
bool visl[maxn],visr[maxn];
void maxmatch(int u) {
int x,y=0,d,id=0;
memset(pre,0,sizeof(pre));//pre用来记录上一条边
for(int i=1; i<=n; i++)delta[i]=inf;//初始化右点集
match[y]=u;//初始化匹配关系
while(1) {
x=match[y];
d=inf;//初始化
visr[y]=1;//访问
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(visr[i])continue;
if(delta[i]>l[x]+r[i]-graph[x][i]) {//能否加一条边x-i
delta[i]=l[x]+r[i]-graph[x][i];
pre[i]=y;//连接一条未匹配边
}
if(delta[i]<d) {//找到一条修改值最少的点
d=delta[i];//记录数值
id=i;//记录编号
}
}
for(int i=0; i<=n; i++)
if(visr[i])l[match[i]]-=d,r[i]+=d;//尝试修改
else delta[i]-=d;//该边不是最短边，减去后可能成为最短边
y=id;
if(match[y]==-1)break;//无法继续匹配
}
while(y) {//构造匹配
match[y]=match[pre[y]];
y=pre[y];
}
}
int KM() {
memset(match,-1,sizeof(match));//清空匹配
memset(l,0,sizeof(l));
memset(r,0,sizeof(r));
for(int i=1; i<=n; i++) {
memset(visr,0,sizeof(visr));
maxmatch(i);//BFS左点集
}
for(int i=1; i<=n; i++)
if(match[i]!=-1)res+=graph[match[i]][i];
return res;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cin >>n;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
cin >>graph[i][j];
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
graph[i][j]*=-1;
cout <<-KM()<<endl;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
graph[i][j]*=-1;
res=0;
cout <<KM()<<endl;
return 0;
}
LuoguP1971
题目大意：略
思路：利用相对位移的思想，将棋子的移动视为空格的移动，那么先手将空格移动到白子，这与黑子的性质类似，因此将空格看做黑，这样整个迷宫就可以转换成黑白两子间两两匹配的问题，黑白染色，建二分图，根据二分图博弈的思路，分别判断当前移动的点位置在移动前是否为最大匹配必须点，如果是，当前手必赢，否则必输
判断当前点位置是否为最大匹配必须点，可以将点从图中删掉并删掉原先的匹配关系，查看原匹配关系的另一个点是否能组成另一个最大匹配，如果能，代表当前点并不是必须点，则当前手必输（按照最优策略的话），因为当前手下一步必然入最大匹配，记录每一步的当前手是否必输必赢，判断一开始的先手是否错误，需要判断第k轮是否先手必胜而下完后后手必胜，即两个状态都为1，代表这一步先手错了，记录即可
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e3+10;
int n,m,k,sx,sy,cnt,head[maxn],match[maxn];
vector<int>res;
char maze[50][50];
bool color[50][50],vis[maxn/2],block[maxn/2],win[maxn/2];
struct node {
int next,to;
} e[maxn];
void Add(int from,int to) {//链式前向星
e[++cnt].to=to;
e[cnt].next=head[from];
head[from]=cnt;
}
int Hash(int i,int j) {//离散化坐标
return (i-1)*m+j;
}
bool maxmatch(int u) {
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {
int v=e[i].to;
if(block[v])continue;//这个点已经被去掉了
if(!vis[v]) {
vis[v]=1;
if(!match[v]||maxmatch(match[v])) {
match[v]=u;
match[u]=v;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cin >>n>>m;
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++) {
cin >>maze[i][j];
if(maze[i][j]=='.')//存起点
sx=i,sy=j;
else if(maze[i][j]=='O')//标记白点
color[i][j]=1;
}
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(color[i][j]) {
if(i+1<=n&&!color[i+1][j]) {//建边
Add(Hash(i,j),Hash(i+1,j));
Add(Hash(i+1,j),Hash(i,j));
}
if(j+1<=m&&!color[i][j+1]) {
Add(Hash(i,j+1),Hash(i,j));
Add(Hash(i,j),Hash(i,j+1));
}
if(i>1&&!color[i-1][j]) {//建边
Add(Hash(i,j),Hash(i-1,j));
Add(Hash(i-1,j),Hash(i,j));
}
if(j>1&&!color[i][j-1]) {//建边
Add(Hash(i,j),Hash(i,j-1));
Add(Hash(i,j-1),Hash(i,j));
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(color[i][j]&&!match[Hash(i,j)]) {//以白点为基础建边
memset(vis,0,sizeof(vis));
maxmatch(Hash(i,j));//匹配
}
cin >>k;
for(int i=1; i<=2*k; i++) {
int id=Hash(sx,sy);
block[id]=1;//代表这一个已经访问过了，不能作为匹配
if(match[id]==0)//这一点为非必须/非匹配点，下一步必然在匹配点，下一个人必赢
win[i]=0;
else {
int t=match[id];//t不会与id匹配，因为已经在block上标记了
match[id]=match[t]=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(maxmatch(t))win[i]=0;
else win[i]=1;
//尝试去掉id开始匹配，如果仍然存在最大匹配，则id为非必须点
//非必须点为起点，下一个人必在匹配点，下一个人必赢
}
cin >>sx>>sy;//录入下一次操作
}
for(int i=1; i<=k; i++)
if(win[2*i-1]&&win[2*i])//如果A本来可以赢，但是下完之后B赢了，代表A下错了
res.push_back(i);
int len=res.size();
cout <<len<<endl;
for(int i=0; i<len; i++)
cout <<res[i]<<endl;
return 0;
}
LuoguP4055
题目大意：略
思路：首先声明一下：
该题数据有问题！该题数据有问题！该题数据有问题！
数据忽略了类似下面两种的数据
3 3 3 3
.## .##
.## .##
..# #..
因此，洛谷上的部分题解可能思路是对的，但是代码从逻辑上是错的，下面给出的代码我自己也不能保证就是对的，因为没有更全面的数据
下面是思路
根据题意，相邻的可行格显然可以连边，那么采用黑白染色的方法将整个可行域分成黑白两部分，这样就可以构造一个二分图了，题目也就转变成了二分图博弈，但是本题的先手是先选点，不是从起点出发
为了先手必胜，那么先手就需要使后手走之后使当前点为最大匹配的起点，这样就和二分图博弈的模型相符合了，那么先手需要找的点就是与最大匹配相连，但可以不属于最大匹配的点，如果整个图是完全匹配，显然是没有这样的点的
最大匹配可能有多个，如果先手走了某个最大匹配的必须点，显然后手就从博弈模型中的“起点”开始走了，先手会输，所以，先手需要走所有最大匹配都非必须的点
为了找所有最大匹配的必须点，可以从一个非必须点开始搜索，假设其颜色为黑，如果经过一个白点搜索还能搜到黑，那么另一个黑点必然也是非必须点，因为这两个点等价，那么它们与公共点组成的边就可以替换原图中最大匹配的一条边，可以画图尝试
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,m,match[maxn],head[maxn],cnt,ans,res,color[maxn];
int point[1212][1212];
char maze[1212][1212];
bool vis[maxn],une[maxn];
struct node {
int next,to;
} e[maxn];
void Add(int from,int to) {
e[++cnt].to=to;
e[cnt].next=head[from];
head[from]=cnt;
}
bool maxmatch(int u) {
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {
int v=e[i].to;
if(!vis[v]) {
vis[v]=1;
if(match[v]==-1||maxmatch(match[v])) {
match[v]=u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
void DFS(int u) {
if(une[u])return ;
une[u]=1;
for(int i=head[u]; ~i; i=e[i].next) {
int v=e[i].to;
if(match[v]!=-1)
DFS(match[v]);
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cin >>n>>m;
memset(match,-1,sizeof(match));
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
cin >>maze[i][j];
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(maze[i][j]=='.') {
point[i][j]=++ans;//离散化
if((i+j)%2==0)color[ans]=1;//染色，一个小技巧
//只染色了偶数和格，可以保证奇数和格必为0
}
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(maze[i][j]=='.') {//建图
if(point[i+1][j]) {//利用已经离散化的坐标来代替
Add(point[i][j],point[i+1][j]);
Add(point[i+1][j],point[i][j]);
}
if(point[i][j+1]) {
Add(point[i][j],point[i][j+1]);
Add(point[i][j+1],point[i][j]);
}
}
for(int i=1; i<=ans; i++)//构造最大匹配
if(color[i]) {//以黑点为基准
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(match[i]==-1)
res+=maxmatch(i);
}
if(cnt/2==res||(ans/2==res&&cnt/2+1==ans)) {//特判是否无解
cout <<"LOSE"<<endl;
return 0;
}
cout <<"WIN"<<endl;
for(int i=1; i<=ans; i++)//反标记，代表已经在最大匹配上
if(match[i]!=-1)match[match[i]]=i;
for(int i=1; i<=ans; i++)if(match[i]==-1)DFS(i);
//如果是非必须点，找另一个非必须点
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(une[point[i][j]])//根据离散化坐标判断是否为非必须点
cout <<i<<" "<<j<<endl;
return 0;
}
/*
3 3
.##
.##
..#
*/
总结
二分图最基础的知识点就是最大匹配和染色，其余的知识点都是在这两点上延伸拓展的，需要深刻理解，由LuoguP1285可以看到，二分图可以将整个图变成一个个具有双重性质的连通块，而如果将这些连通块套入背包模型，便可以用DP的思路来解决问题，这是非常巧妙的
二分图，准确来说，是一种思想，一种思维，如何将问题转换成二分图，如何套用二分图模型解决问题，这是需要掌握的
KM算法是最大匹配的拓展，确切的来说，它利用了顶标与边权来进行取值约束，通过不断的修改顶标间接的修改所取的边与匹配关系，最后获得最大权匹配
二分图的问题大多数可以用网络流的其他算法来解决，但是由于二分图的特殊性，二分图本身的相关算法还是更加适配自身的问题
参考文献
- 《啊哈算法》
- 图论 —— 二分图
- 《算法训练营：海量图解+竞赛刷题》
- 二分图学习笔记
- 2019浙师大暑期ACM集训第二讲 图论（二） 二分图和网络流
- 「二分图」学习笔记
- P1285 队员分组 题解
- P1263 [CEOI2002] Royal guards 题解
- 同济大学2020ICPC暑假训练 8月16日 二分图及其应用
- 算法学习笔记(74): 二分图博弈
- 二分图博弈算法讲解及证明 (21夏 学习笔记)
- 1971兔兔与蛋蛋题解
标签：二分,匹配,int,memset,maxn,图全解,match 来源： https://blog.csdn.net/C_eeking/article/details/122683817
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