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扩展卢卡斯定理(exLucas)学习笔记

2022-01-23 15:04:36 阅读：243 来源： 互联网

标签：frac 定理扩展笔记卢卡斯 exLucas ll mod

-1.前言

总算是把扩展卢卡斯定理学会了，写一篇学习笔记吧。

0.前置知识

扩展欧几里得
中国剩余定理

（不需要学会卢卡斯定理）

1.算法介绍

扩展卢卡斯，顾名思义，是卢卡斯定理的扩展。卢卡斯定理可以求\((^m_n)\mod p\)，但\(p\)要是质数。但如果\(p\)是合数呢？这就要使用扩展卢卡斯定理了。

2.流程

首先将\(p\)分解为\(p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_n^{c_n}\)，再计算\((^m_n)\mod p_i^{c_i}\)，最后用中国剩余定理合并。

那么怎样计算\((^m_n)\mod p^c\)呢？

由阶乘定义得\((^m_n)=\frac{m!}{n!(m-n)!}\)

直接计算逆元，显然不行，因为\(m!\)与\(p^c\)可能不互质。

再将阶乘中的\(p\)分离出来，得：

\[\frac{m!}{n!(m-n)!}\mod p^c=\frac{\frac{m!}{p_i}}{\frac{n!}{p^j}\frac{(m-n)!}{p^k}}\cdot p^{i-j-k}\mod p^c \]

现在它们互质了，可以套逆元了。

现在的问题是如何计算\(\frac{n!}{p^k}\)。

显然，大于\(p^k\)的可以对\(p^k\)取模，然后直接枚举，再套个快速幂即可。

3.代码

不理解可以尝试看代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1;y=0;return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll p){
	ll c=1;
	while(b){
		if(b&1)c=(c*a)%p;
		a=(a*a)%p;
		b>>=1;
	}
	return c;
}
ll inv(ll a,ll p){
	ll x,y;exgcd(a,p,x,y);
	x%=p;if(x<0)x+=p;return x;
}
ll fac(ll n,ll p,ll pk){
	if(!n)return 1;
	ll ans=1;
	for(ll i=1;i<pk;++i){
		if(i%p)ans=(ans*i)%pk;
	}
	ans=qpow(ans,n/pk,pk);
	for(ll i=1;i<=n%pk;++i){
		if(i%p)ans=(ans*i)%pk;
	}
	return ans*fac(n/p,p,pk)%pk;
}
ll C(ll n,ll m,ll p,ll pk){
	if(n<m)return 0;
	ll f1=fac(n,p,pk),f2=fac(m,p,pk),f3=fac(n-m,p,pk),cnt=0;
	ll t1=n,t2=m,t3=n-m;
	for(;t1;t1/=p)cnt+=t1/p;
	for(;t2;t2/=p)cnt-=t2/p;
	for(;t3;t3/=p)cnt-=t3/p;
	return ((f1*inv(f2,pk)%pk)*inv(f3,pk)%pk)*qpow(p,cnt,pk)%pk;
}
ll a[1000001],p[1000001];
int now;
ll exlucas(ll n,ll m,int pp){
	ll mod=pp;
	for(int i=2;pp!=1;++i){
		if(pp%i)continue;ll tmp=1;
		++now;p[now]=i;while(!(pp%i))pp/=i,tmp*=i;
		a[now]=C(n,m,p[now],tmp);p[now]=tmp;
	}
	ll ans=0;
	for(ll i=1;i<=now;++i){
		ans=(ans+(((mod/p[i]*a[i])%mod)*inv(mod/p[i],p[i])%mod))%mod;
	}
	return ans%mod;
}
int main(){
	ll n,m;int p;
	scanf("%lld%lld%d",&n,&m,&p);
	printf("%lld\n",exlucas(n,m,p));
	return 0;
}

完结撒花

标签：frac,定理,扩展,笔记,卢卡斯,exLucas,ll,mod
来源： https://www.cnblogs.com/andy-lin102/p/15836392.html