标签：公理 03 angle 直线 线段 合同 几何 alpha parallel
1. 合同公理
1.1 线段和角的合同
关联定义了三大主角（点线面）的依附关系，顺序又限定了点在空间的次序（并间接影响线面的空间次序），现在还缺少对空间的度量。所谓度量就是对几何对象建立相等的概念，而相等的另一个等价说法就是教材上的“迁移”，“重合、相等”这样的概念本质上就是对象的动态关系，这样的关系我们称之为合同，记做\(=\)（为区别于常识上的\(=\)，教材用的\(\equiv\)）。所有对象的合同关系其实又可以拆解为线段合同与角合同，线段合同是对一维空间的度量（长度），而借助角合同可以把度量扩展到更高维（面积、体积）。
\(III.\) 合同公理
\(III_1.\) 直线\(a\)上有两点\(A,B\)，则\(a'\)上\(A'\)的任一侧都存在点\(B'\)，使得\(AB=A'B'\)。
\(III_2.\) 假设\(A'B'=AB,A''B''=AB\)，则有\(A'B'=A''B''\)。
\(III_3.\) \(B,B'\)分别在线段\(AC,A'C'\)上，且\(AB=A'B',BC=B'C'\)，则有\(AC=A'C'\)。
\(III_4.\) 对给定的角\(\angle(h,k)\)和平面\(\alpha'\)上的射线\(h'\)，则\(\alpha'\)上\(h'\)的任一侧都存在唯一射线\(k'\)使得\(\angle(h,k)=\angle(h',k')\)。
\(III_5.\) 任何角都与自己合同。
\(III_6.\) 假设\(AB=A'B',AC=A'C',\angle BAC=\angle B'A'C'\)，则有\(\angle ABC=\angle A'B'C'\)。
需要提醒的是，为了使公理数量尽量少，公理中并没有直接给出合同关系的对称性和传递性。此时我们还只能认为“\(=\)”是最一般的对象关系，然后通过公理推导出对称性和传递性。另外，由于线段（角）的定义中端点（边）的书写顺序不影响所表示的对象，这里也不区分\(AB\)和\(BA\)、\(\angle(a,b)\)和\(\angle(b,a)\)。
前三条公理是单独针对线段合同的，\(III_1\)给出了将线段迁移到直线上点的任一侧的可能性，其唯一性还需要后面的公理。\(III_2\)给出了线段合同的一个性质，利用它可以直接证明线段合同的对称性和传递性，并继而证明线段与自己合同。\(III_3\)其实说明了线段合同的可加性，这是度量最重要的一个性质。单纯的线段合同没有什么太多可讨论的（除非你想在直线上建立实数体系），它必须和角合同一起才能发挥威力。
再后两条公理是单独针对角合同的，\(III_4\)给出了角迁移到平面上射线任一侧的可能性和唯一性，\(III_5\)只给出了角与自身合同。结合这两个公理可知，如果\(\angle(a,b)=\angle(a,b')\)，那么\(b,b'\)是一条射线，这个唯一性在后面很有用。角公理的唯一性和线段公理形成互补关系，它们结合之后才能发挥更大威力。但目前还得不出更多的结论，甚至连角合同的对称性和传递性都不能断言，以下论述中请千万注意这一点。这里先给出几个你已经熟知的定义：对于\(\angle(a,b)\)，\(\angle(a,b')\)称为它的邻补角，\(\angle(a',b')\)称为它的对顶角，如果\(\angle(a,b)=\angle(a,b')\)，称为直角。
公理\(III_6\)将线段合同与角合同相结合，合同关系也得以从一维上升到更高维。你可能发现它就是“三角形全等的边角边判定规则”中的一部分，由对称性其实还有\(\angle ACB\equiv\angle A'C'B'\)，但是还需要证明\(BC=B'C'\)。在射线\(B'C'\)上取\(B'D'=BC\)（以下右图），则可知\(\angle CAB=\angle D'A'B'\)，由角迁移的唯一性可知\(D',C'\)是重合的，即\(BC=B'C'\)。结论中这种三条边和角都合同的三角形也成为合同的，记作\(\triangle ABC=\triangle A'B'C'\)，但要注意在角的对称性和传递性未证明之前，三角形合同也不一定满足这些性质。
公理\(III_6\)选择的条件是非常独立的（角上线段与角本身独立），但又是构成三角形的自然方式，把它作为公理非常恰当。同样的方法其实还可以证明“角边角判定定理”，即已知\(\angle B=\angle B',\angle C=\angle C',BC=B'C'\)，则可判定\(\triangle ABC=\triangle A'B'C'\)。但要注意，如果给的条件是\(\angle A=\angle A',\angle B=\angle B',BC=B'C'\)，它是不同于“角边角”的条件的（没有三角和相等的概念），需要后续的论证。另外，同样的方法还可以证明线段迁移的唯一性，由唯一性就可以补齐可加性的同侧情况，至此线段合同的一般性质就算补齐了。
目前关于角合同，还未证明其对称性、传递性、可加性，而这些性质都是线段合同具有的，故证明中可考虑借助线段合同。先来看可加性，给定两组射线\(h,l,k\)和\(h',l',k'\)和顶点\(O,O'\)，假设\(\angle(h,k)=\angle(h',k'),\angle(l,k)=\angle(l,k)\)，且\(h,l\)和\(h',l'\)同时在\(k,k'\)的同侧或异侧，目的是证明\(\angle(h,l)=\angle(h',l)\)。对在同侧的情况，可以假定\(l\)在\(h,k\)之间（以上右图），在\(h,h'\)取\(OA=O'A'\)、在\(k,k'\)取\(OB=O'B'\)，并设\(AB\)交\(l\)于\(C\)。在\(B'A'\)上取\(B'C'=BC\)，可证明\(\angle(l,k)=\angle C'O'B'\)，由角合同的唯一性可知\(l'\)与射线\(O'C'\)重合，接下来不难证明结论。
当\(h,l\)和\(h',l'\)同时在\(k,k'\)的异侧时，证明非常类似，只要注意点证明射线重合及处理好平角就行。可加性的一个极端情况是，其中一个角是平角，要证明的其实是：已知两角合同，求证它们的补角也合同。以下取\(AB=A'B',BC=B'C',BD=B'D'\)和\(\angle ABC=\angle A'B'C'\)（以下左图），要证\(\angle CBD=\angle C'B'D'\)。结论的证明很简单，但要很好体会这几个结论中对线段合同可加性的运用。直接利用结论便可证明：对顶角相互合同。最后来构造直角，在射线\(OA\)两侧作\(\angle BOA=\angle COA,OB=OC\)（以下右图），并设\(BC\)交直线\(OA\)于\(D\)。若\(D\)就是\(O\)则\(\angle BOA\)即为直角，不管\(D\)在不在射线\(OA\)上，都容易有\(\angle BOD=\angle COD\)，接下来不难证明\(\angle BDO\)就是直角。
角合同的对称性和传递性只能通过线段合同的性质证明，但由单纯的线段合同如何导出角合同？最简单的情形是这样的，利用\(III_6\)不难发现，等腰三角形的两底角互相合同。复杂一点的情形，其实我们更想得到“边边边判定定理”，为了用到等腰三角形的结论，可以先退一步，考察有共边的两个三角形\(\triangle ABC,\triangle DBC\)，其中\(A,D\)在\(BC\)两侧（以下左图）、且\(AB=DB,AC=DC\)。利用等腰三角形的性质和角的可加性，容易证得两个三角形相互合同。
然后当\(\triangle ABC,\triangle A'B'C'\)三条边都相等时，将\(\triangle ABC\)迁移到\(B'C'\)的两侧得到\(\triangle DB'C',\triangle EB'C'\)（以上右图）。利用刚才的结论，\(\angle EC'B'\)和\(\angle A'C'B',\angle DC'B'\)都合同，由唯一性便知射线\(C'A',C'D\)重合。这就说明了\(\angle ACB=\angle A'C'B'\)，从而\(\triangle ABC=\triangle A'B'C'\)。论证中注意哪些是一般合同、哪些是互相合同，千万不要随便交换等式两边。有了这个“边边边判定定理”之后，角合同的对称性和传递性也就显然了，至此角合同的基本性质也全部得到。
1.2 线段和角的比较
有“相等”（合同）就有“不相等”，顺序公理中对不相等的情况建立了序列，而这就方便了在度量中引入“大于”“小于”的概念。当两个角没有公共边时，必须通过合同迁移使得一条边重合，迁移后如果两条边都重合，两个角自然就是合同的。如果\(\angle 1\)迁移后在\(\angle 2\)内侧，则称\(\angle 1\)小于\(\angle 2\)、或\(\angle 2\)大于\(\angle 1\)，记作\(\angle 1<\angle 2\)或\(\angle 2>\angle 1\)。作为一种关系，它应当是确定的，也就是说随着各种迁移方法都有一致的结果。对于两个角\(\angle(a,b),\angle(c,d)\)，可以将\(\angle(c,d)\)的一条边迁移到\(a\)或\(b\)，也可以将\(\angle(a,b)\)迁移到\(c\)或\(d\)。
先来比较迁移到\(b,d\)两种情形，假设\(c\)被迁移到\(\angle(a,b)外侧\)，则在\(\angle(c,d)\)内侧作\(\angle(d,a')=\angle(a,b)\)（以下左图，可行性自证），由角合同的唯一性可知，\(\angle(a,b)\)迁移到\(d\)的\(c\)一侧时，\(a\)与\(a'\)重合。其它情况证明类似，总之，不管何种迁移方法，大、小于的结论都一致，这是一个良性的定义。这个定义也可以轻松地用在线段上，而且在此定义下，有这样简单的事实：两个线段（角）必有\(=,>,<\)之一的关系。设三个线段（角）有关系\(a\geqslant b,b\geqslant c\)，不难证明有传递性\(a\geqslant c\)，等号成立充要条件是\(a=b,b=c\)。
中学教材中规定：大于直角的角叫钝角，小于钝角的角叫锐角。不过在这里我们先要证明“直角”是一个确定的角，也就是说直角都互相合同。假设直线\(AB\)上有\(\angle AOC=\angle BOC\)（以上右图），则它们都是直角。再假设其它直角被迁移到射线\(OA\)的\(C\)这一侧时，另一条射线为\(OC'\)，则有\(\angle AOC'=\angle BOC'\)、且它们都是直角。如果\(OC'\)在\(\angle AOC\)内侧，则有关系式\(\angle AOC'<\angle AOC=\angle BOC<\angle BOC'\)，这显然与\(\angle AOC'=\angle BOC'\)矛盾。当\(OC'\)在\(\angle BOC\)内侧时，也有同样的矛盾，故只有\(OC\)与\(OC'\)重合，所有直角都合同。
三角形的三个角也叫它的内角，每个角的补角也叫外角，现在来比较外角与其它两个内角的关系。假设\(\triangle ABC\)中有\(\angle ABD\leqslant\angle A\)（下图），则可以在\(\angle A\)内部（或合同）作\(\angle BAE=\angle ABD\)。取\(D\)使得\(BD=AE\)，可证\(\triangle ABE=\triangle BAD\)，所以\(\angle BAD=\angle ABE\)，但\(\angle BAD\)显然与\(\angle BAE\)不互补，导出矛盾。这就是说必然有\(\angle ABD>\angle A\)，同样也有\(\angle ABD>\angle C\)，即外角大于其它两个内角，该结论称为外角定理。
外角定理非常有用，它可以推导出一系列直观的结论。之前说过，等腰对应等角，当三角形两条边不相等时，不妨设\(AB>AC\)（以下左图）。在\(AB\)上取\(AD=AC\)，则有关系\(\angle B<\angle ADC=\angle ACD<\angle ACB\)，这个结论可以总结为：三角形中长边对应的角也大。反过来，如果知道两个角的关系呢？其实因为线段的关系只有三种，如果逆命题不成立，必然会导致矛盾。所以至此，完整结论可以叙述为：三角形中边长排序和对应角的排序总是一致的。这也是一个很有用的结论，比如在\(\triangle ABC\)中（以下右图），延长\(BA\)使得\(AD=AC\)，由\(\angle D<\angle BCD\)可知\(BC<AD=AB+AC\)，即三角形两边和大于第三边。
由于现在还没有三角形三角和的概念，之前的“角边角判定定理”还有一个变异的“角角边”的情况需要证明，即已知\(\angle A=\angle A',\angle B=\angle B',BC=B'C'\)，求证\(\triangle ABC=\triangle A'B'C'\)。其实就只要证\(\angle C=\angle C'\)，否则假设\(\angle C>\angle C'\)，把\(\angle C'\)迁移到射线\(CB\)的\(A\)侧、并交\(AB\)于\(D\)（以下左图）。先证得\(\triangle DBC=\triangle A'B'C'\)，从而\(\angle BDC=\angle A'=\angle A\)，这与外角定理矛盾，故“角角边判定定理”也成立。
在这个判定定理下，我们可以把任意线段二等分。对给定线段\(AB\)（以上右图），在\(AB\)两侧分别作\(\angle CAB=\angle DBA\)、并取\(AC=BD\)，设\(CD\)交直线\(AB\)于\(E\)。由判断定理可知\(\triangle EAC=\triangle EBD\)，从而\(AE=BE\)，不难证明\(E\)一定在\(A,B\)之间，它就是线段\(AB\)的二等分点。继而我们还可以把任意角\(\angle AOB\)二等分，只需取\(AO=BO\)并取线段\(AB\)的中点\(C\)，容易证明射线\(OC\)就是\(\angle AOB\)的角平分线。
1.3 图形的合同
从两点的合同到三角形的合同，其实描述的是同一个概念，即图形的运动。因此我们可以把合同的概念推广到更一般的图形中，这里我们把图形定义为空间中的一个点集\(\Phi\)，在同一平面的图形也叫平面图形。两个图形\(\Phi,\Phi'\)合同其实就是通过运动能互相重合，这就要求\(\Phi,\Phi'\)的点集之间可以建立一一对应，在此对应下，共线、共面、共侧关系保持一致，而且相应的线段、角度也都合同。在欧几里得空间中，我们有这样的印象：只要两个图形点的相互距离保持不变，这个图形的形状也不变，我们自然想问：线段合同是不是图形合同的充要条件？
首先由上面的“三角形两边和大于第三边”，不难证明三点共线即顺序关系一定是保持的，进而也不难推断出所有的共线和顺序关系保持一致。再根据三角形的“边边边判定定理”，也容易知道所有对应角也都合同。现在来证共面性也是一致的，即如果\(D\)在平面\(ABC\)上（以下左图，\(A,B,C\)不共线），\(D'\)也一定在平面\(A'B'C'\)上。如果\(D\)与\(A,B,C\)中某两点共线，结论是显然的。若不共线则一定可以选定点\(A\)，使得线段\(AD\)或其延长线与线段\(BC\)相交（自行证明并分类讨论），设交点为\(E\)。在\(B'C'\)上作对应的合同点\(E'\)，讨论图形\(\{A,D,E\}\)与\(A',D',E'\)的合同性，则容易知道\(D'\)一定也在直线\(A'E'\)上，即在平面\(A'B'C'\)上，共面性保持一致。
最后来看共侧关系，如果点\(C,D\)在直线\(AB\)两侧（以上右图），设线段\(CD\)与直线\(AB\)交于\(E\)。在直线\(A'B'\)上作合同的点\(E'\)，讨论图形\(\{C,D,E\}\)与\(\{C',D',E'\}\)的合同性，不难知道\(C',D'\)也在\(A'B'\)两侧。这就证明了平面上直线两侧的关系保持不变，同样也可以证明空间中平面两侧的关系也不变。至此我们便证明了两个图形合同的充要条件是对应的线段全部合同。
在欧几里得空间中，我们知道一维、二维、三维图形的运动其实分别由两个不同点、三个不共线点四个不共面点确定（以下称基础点）。也就是说如果知道了运动后基础点的位置，其它的点都能唯一构造出来。或者换个说法，对于包含基础点的两个合同图形\(\Phi,\Phi'\)，当在\(\Phi\)上扩充点\(P\)时，也一定能在\(\Phi'\)上扩充唯一的\(P'\)，且扩充后图形仍然合同。在一维空间（直线）中，利用线段的可加性，不难构造出唯一的扩充点\(P'\)，请自行证明。对于更高维的情况，都需要论证新扩充点的存在性（与所有点的线段保持合同），以及唯一性（一般构造过程即说明了唯一性）。
在二维空间（平面）中，如果\(P\)与\(\Phi\)中某两点\(A,B\)共线，则先在\(\Phi'\)的直线\(A'B'\)上构造合同的唯一点\(P'\)（以下左图），然后利用判定定理不难证明：\(P'\)与直线外任意点\(C'\)都满足\(P'C'=PC\)。当\(P\)不与任何两点共线时，可以构造过点\(P\)的直线交两条已知直线于\(P_1,P_2\)（以下右图，自行证明存在性）。则可以先将\(P_1,P_2\)扩充到\(\Phi\)中，根据刚才共线的讨论，\(\Phi'\)可以加进的扩展点\(P'_1,P'_2\)。而这时\(P\)与新图形\(\Phi\)中的\(P_1,P_2\)共线，也自然能在\(\Phi'\)中扩充进对应的\(P'\)。不过要注意，这时的\(P'\)对于原图\(\Phi'\)来说只是存在，还需证明其唯一性。这时再把刚才的\(P_1,P_2\)添加进来，反过来根据合同关系证明\(P'_1,P'_2,P'\)共线即可。
在三维空间中，如果\(P\)与\(\Phi\)中的某两点共线（或三点共面），刚才的论述在线上（或面上）的唯一扩充是存在的，与线（面）外点线段合同用上段同样的方法证明。如果\(P\)不在任何已知直线（平面）上，同样可以构造某条过\(P\)且与已知线面相交至少两次的直线，接下来类似地证明\(P'\)存在和唯一性。这几段论述，进一步验证了，图形合同的本质就是图形的运动。
2. 平行公理
前面的三套公理定义了点、线、面的基本关系，它们可以构成一套非常自洽的系统。在前面的论述中，你可能注意到，很多问题的描述都依赖交点的存在，而尽量避免讨论不相交的情况，平行公理就是对不相交作了一定限制。当同一平面上的两条直线没有交点、直线或平面与另一个平面没有交点时，都称它们是平行的（注意说直线平行意味着一定共面），记做\(a\parallel b\)、\(a\parallel \alpha\)或\(\alpha\parallel\beta\)。我们需要讨论平行线（面）的存在性以及其数量，还要研究平行的判定定理及性质。
先来看最简单的情形，考虑同一平面上的直线\(a\)和直线外一点\(A\)，研究平面上过\(A\)且与\(a\)平行的直线。先来看一些你中学时熟悉的概念，过\(A\)作一条与\(a\)相交的直线\(c\)和任意直线\(b\)（以下左图），其中\(\angle 1\)与\(\angle 2\)互为同位角，\(\angle 1\)与\(\angle 3\)互为内错角，而且显然\(\angle 2=\angle 3\)。如果作直线\(b\)时让\(\angle 1=\angle 2\)或\(\angle 1=\angle 3\)，不难用反正法证明\(a,b\)是平行的（使用外角定理）。这就证明了平面上过直线外固定点的平行线的存在性，它是直线平行的一个判定定理。
这个判定定理的逆命题是否成立呢？或者说除了直线\(b\)是否还有其它平行线呢？这个问题的答案从之前的公理中是无法得知的，只能用以下平行公理作限制，结合平行公理和刚才的存在性，便可知平行线的唯一性。这样的假设符合欧几里得空间的常识，而且在后续的问题讨论中起到非常重要的作用，它在欧几里得的《几何原理》中也是被作为著名的“第五公设”而提出的。历史上很多人尝试去证明第五公设，但要么无功而返、要么在证明中隐晦地使用到了第五公设的推论。后来人们构造出了不满足第五公设的几何体统，才认识到它的独立性，并由此对不同的几何进行了深入的讨论。
在有平行公理的情况下，刚才构造的直线\(b\)便是唯一的平行线，或者换个说法：平面上如果有\(a\parallel b,a\parallel c\)，则\(b,c\)重合或\(b\parallel c\)。平行线的唯一性，使得由平行也能反推到“同位角相等”和“内错角相等”，这是个很有用的结论。比如在\(\triangle ABC\)中（以上右图），过点\(A\)作\(BC\)的平行线\(a\)，显然有\(\angle 3=\angle 1=\angle B\)和\(\angle 2=\angle C\)。这时我们可以说：三角形三角和为一个平角，或者说三角形的外角等于另外两内角之和，它可以看成是外角定理的加强版。在这个结论下，便可以定义并讨论圆的一些性质，这些就是初等几何的内容了。
\(IV.\) 平行公理
\(IV.\) （欧几里得公理）设直线\(a\)和其外一点\(A\)确定平面\(\alpha\)，则\(\alpha\)上至多有一条过\(A\)且不与\(a\)相交的直线。
现在把对平行的讨论放到三维空间中。已知平面\(\alpha\)和平面外一点\(A\)，对\(\alpha\)上的任一条直线\(a\)，都存在唯一过\(A\)的直线\(a'\)与\(a\)平行。设\(A,a\)确定的平面是\(\beta\)，则\(\alpha,\beta\)相交于\(a\)，故如果\(a'\)与\(\alpha\)有交点，一定也在\(a\)上，这是不可能的，从而\(a'\parallel\alpha\)。这就证明了过\(A\)与\(\alpha\)平行的直线的存在性，同时证明过程还给出了直线与平面平行的一个判定定理，即如果\(a\)与平面\(\alpha\)上的一条直线平行，则\(a\)在\(\alpha\)上或\(a\parallel\alpha\)。这个判定定理换个说法就是，如果\(a\parallel b\)，则过\(b\)的任意平面要么过\(a\)、要么与\(a\)平行。反之如果有\(a\parallel\alpha,a\parallel\beta\)，且\(\alpha,\beta\)交于\(b\)，取\(b\)上一点\(A\)，并设平面\((A,a)\)分别交平面于\(b',b''\)。由于\(a\)与\(b',b''\)都平行，故只能是\(b',b''\)重合于\(b\)，所以有\(a\parallel b\)。
刚才我们用到这样一个简单的结论：如果\(a\parallel\alpha\)，则过的\(a\)平面\(\beta_1,\beta_2,\cdots\)与\(\alpha\)的交线\(b_1,b_2,\cdots\)都与\(a\)平行。其实由\(\beta_i\)间交线的唯一性，可知\(b_i\)之间没有交点，从而\(b_1,b_2,\cdots\)互相平行。对这个结论，我们有两点扩充。其一是该命题的逆命题，即如果\(\alpha\)上有\(b\parallel c\)，且分别过\(b,c\)的平面\(\beta,\gamma\)相交于直线\(a\)，则一定有\(a\parallel\alpha\)。其实由\(b\parallel c\)得到\(c\parallel\beta\)，从而\(c\parallel a\)，再而\(a\parallel\alpha\)。另一个扩充是，如果\(a\parallel b,a\parallel c\)，能否推出\(b\parallel c\)？其实由\(a\parallel b\)知\(b\)平行于平面\((a,c)\)，取\(c\)上一点\(C\)、并设平面\((C,b)\)交平面\((a,c)\)于\(c'\)，这时应当有\(a\parallel c'\)，由唯一性知\(c',c\)重合，即\(b\parallel c\)。
以上两段是直线与平面平行的一些判定定理和性质，现在回到构造平行线的现场。设\(\alpha\)上有两条相交直线\(a,b\)，在\(\alpha\)外一点\(A\)分别作\(a'\parallel a,b'\parallel b\)，不难证明\(a',b'\)是不同的直线，也就是说过点\(A\)与\(\alpha\)平行的直线不唯一。记\(a',b'\)组成的平面为\(\beta\)，如果\(\beta\)与\(\alpha\)有交线\(c\)，则应该有\(a'\parallel c,b'\parallel c\)，从而\(a'\parallel b'\)，这与\(a',b'\)交于\(A\)矛盾。也就是说\(\alpha\parallel\beta\)，我们构造了一个过点\(A\)且与\(\alpha\)平行的平面。
其实对于任意过\(A\)且与\(\alpha\)平行的平面\(\beta'\)，可知\(a',b'\)都是平面\((A,a),(A,b)\)与\(\beta'\)的交线，这说明\(\beta',\beta\)重合，平行面是唯一的。进而其实还说明，任何过点\(A\)且与\(\alpha\)平行的直线，都在平面\(\beta\)上。两平行平面上的任意两条线没有交点，所以如果不限定在一个平面上，不相交直线将有无数条，不能保证平行线的唯一性。另外也容易证明，如果\(\alpha\parallel\beta,\alpha\parallel\gamma\)，则\(\beta,\gamma\)重合或平行。
3. 连续公理
至此，公理能建立起来的几何系统已经相当完整了，但还不完全等价于欧几里得几何空间，我们需要在点集上作进一步的限制。在此之前，公理的讨论都只针对有限的对象，而刻意避开了无穷的概念，但在这里就必须面对“直线的上的所有点”这样的问题。顺序公理要求直线上的点集构成一个全序集，而连续公理的目的是把它限制为与实数集同构的全序集。
\(V.\) 连续公理
\(V_1.\) （阿基米德公理）给定线段\(AB,CD\)，从点\(A\)开始向\(B\)的方向作收尾交替、且都与\(CD\)的合同的线段，则有限次后必将超过点\(B\)。
\(V_2.\) （完备公理）任一直线上的点集都不能再扩充。
实数有两个重要的特点，一个是两个点的距离不会“无限远”，这个特点在抽象代数中就叫“阿基米德公理”。这个公理限定了直线上点集的上限，它必须同构与实数集的一个子集。实数的另一个特点就是其完备性，也就是说实数集里没有空隙，而完备公理则要求直线点集只能与实数集同构。当然，对于一般的讨论，完备公理是有点冗余的，选择一个合适的子集也能得到比较完整的直观系统。甚至连阿基米德公理也可以排除在一般几何的讨论之外，彻底将几何与“数”分割开来。其实教材的主要篇幅，都摒弃了连续公理，而纯粹地讨论空间关系（非阿基米德几何）。
连续公理都是限定在直线上的，其实它们在三维空间中也成立，下面来证明完备公理的空间形式。先来看任意已有的平面\(\alpha\)，其上必定有三个不共线的点\(A,B,C\)（以下左图），现在试图在\(\alpha\)上添加新点\(P\)。在某条边上任取旧点\(D\)，已知直线\(DP\)与\(\triangle ABC\)必然还有一个交点\(E\)，但旧点\(D,E\)确定的直线不应当能添加新点\(P\)。这就导致矛盾，故已有平面上一定不能再添加新点。再假设空间中可以添加新点\(P\)，任选不共面的旧点\(A,B,C,D\)（以下右图），并设平面\((A,B,P)\)与平面\((B,C,D)\)交于直线\(BE\)。由于面\((B,C,D)\)是已知面，故点\(E\)也是旧点，平面\((A,B,E)\)也是已知面，其中不能添加新点\(P\)。这个矛盾就说明了三维空间中也不能添加新点，空间中完备定理得证。
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