标签：24 markdown 置换 位置 12 互换 六边形 基本概念 轮换
一 互换与轮换
要了解群论，置换必不可少。而且置换在生活、工作中也非常常见。虽然说置换，有点小儿科，但是确实是数学里的重要内容。排列、组合和置换三者缺一不可。不能只学排列组合而不学置换。置换是对集合上的元素进行位置互换。这是对现实世界各种位置互换的抽象。现实中有很多置换的例子，比如击鼓传花游戏、华容道、滑块游戏、魔方、推箱子游戏、工厂的传送带、流水线等等。但是有些游戏，不是置换，比如象棋的吃子，就是替换，不是置换，那就是另一类数学问题。置换与排列密不可分。
简单的置换分为两种：互换与轮换。
同样，由简单到复杂。先由1 2 3 4 四个数字开始。
首先是两两互换，所以这是个C(4,2)组合，所以有6种互换,如下
1、2互换，1、3互换，1、4互换， 2、3互换， 2、4互换 ，3、4互换
上面六个式子里的数字代表位置。
轮换呢，就是几个位置，首位相连，形成一个环，每个位置把自身的元素移动到下一个位置。比如1、2、3轮换就是位置1上的元素移动到了位置2，位置2的元素移动到了位置3，位置3的元素移到了位置1。这对应了数学里循环排列的概念。互换其实是最小的轮换。所有的置换都可以表示为轮换或轮换的组合，这个划重点记哈，是学习置换的基础。但是还有一类置换，就是什么都不改变，类似数字的0，叫恒等置换。
因为置换的作用对象是某个排列，所以可以说置换是个一元运算符，也可以说置换是一个函数，也可以说置换是一个映射，也可以说置换是一种作用。
置换怎么表示呢？
如果用(1,2)这样的写法来表示置换，容易和线性代数里的向量搞混了，所以不能那么表示，标准的做法是空格隔开位置，外面加一对括号，然后数字代表位置。所以互换的写法如下：
(
1
2
)
、
(
1
3
)
、
(
1
4
)
、
(
2
3
)
、
(
2
4
)
、
(
3
4
)
(1\;2) 、(1\;3)、 (1\;4)、 (2\;3) 、 (2\;4)、 (3\;4)
(12)、(13)、(14)、(23)、(24)、(34)
多个元素的轮换，比如1、2、3的轮换记为
(
1
2
3
)
(1\;2\;3)
(123)。当然，
(
1
2
3
)
(1\;2\;3)
(123)也可以写
(
2
3
1
)
(2\;3 \;1)
(231)，因为1、2、3这3个顺序首位相连，形成一个环，以谁开始都无所谓。但是要注意里面不能有重复的位置，比如(1 2 1 4)这种就是不合法的置换，因为出现了1，2和1，4，这就有歧义了，位置1上的元素到底是移动到位置2，还是位置4呢？
再考虑更复杂的置换的组合的写法
比如(1 2)接着(1 3)怎么表示呢？
群论里可以用加号+，也可以用乘号*，点号·，来表示“接着做”这个二元运算。伽罗瓦是推荐用乘号的，为了致敬伽罗瓦，我也用乘号，也可以省略乘号。而写的顺序就是按操作或执行顺序写
所以(1 2)接着(1 3)写成(1 2)·(1 3)或 (1 2)(1 3)
因为用的是乘号表达，所以(1 2 3)，再(1 2 3)就可以表示为二次方，就写成(1 2 3)2。
那么反向轮换，就可以表示为-1次方，就写成(1 2 3)-1
为了简洁，写轮换时，最好将最小的数字写在第一个位置。
置换作用在排列上就直接把置换当成一个特殊函数，用函数的写法就行，比如对[A,B, C, D]这个字母的排列进行1、2、3轮换就可以这样写
[
A
,
B
,
C
,
D
]
(
1
2
3
)
=
[
C
,
A
,
B
,
D
]
[A,B ,C ,D](1\;2\;3)=[C,A,B,D]
[A,B,C,D](123)=[C,A,B,D]
注意：数学里{}表示集合，是没有顺序的，而[]表示排列（计算机界叫列表），是有顺序的。排列写前面，置换写后面意思是对排列进行置换。
按照伽罗瓦的习惯，什么都不改变记为单位元e。
可以做个小练习
1 计算如下置换
[
精
,
忠
,
报
,
国
]
(
1
4
2
3
)
[精,忠,报,国](1\;4\;2\;3)
[精,忠,报,国](1423)
答案是[报,国,忠,精]
2 原排列是[国,精,忠,报]，目前状态是[精,忠 ,报, 国],置换表达式是什么
答案是(1 4 3 2)
思考题：
能不能用置换表示一个排列？
答案：不能，除非指定初始排列。指定了初始状态的置换才能表示一个排列。
二 置换交换律与结合律
那么继续探索置换是否符合交换律。
以置换(1 3) (1 2)作用于(1 2 3 4)这个排列为例子：
[
1
,
2
,
3
,
4
]
(
13
)
=
[
3
,
2
,
1
,
4
]
∴
[
1
,
2
,
3
,
4
]
(
13
)
(
12
)
=
[
3
,
2
,
1
,
4
]
(
12
)
=
[
2
,
3
,
1
,
4
]
[1,2,3,4] (1 3)= [3, 2, 1, 4]\\ ∴ [1, 2, 3, 4](1 3)(1 2)=[3, 2 ,1 ,4](1 2)=[2 ,3 ,1 ,4]
[1,2,3,4](13)=[3,2,1,4]∴[1,2,3,4](13)(12)=[3,2,1,4](12)=[2,3,1,4]
注意，因为计算顺序是先计算(1 3)，再计算(1 2)，所以写法是 [1 ,2 ,3 ,4](1 3) (1 2) ，实际上要先计算[1 ,2, 3, 4](1 3) ，得到结果再执行(1 2)。
而[2 ,3 ,1 ,4]是(1 3 2)这个轮换作用于[1 ,2 ,3, 4]这个排列的结果，所以(1 3) (1 2) = (1 3 2)。
而经过运算我们得知，(1 2)(1 3)=(1 2 3)≠(1 3 2),所以置换不符合交换律
再来看，无共同位置的置换叠加，也就是类似这种
(
12
)
(
34
)
(1 2) (3 4)
(12)(34)
而这种置换是符合交换律的，因为两次置换互相独立。只有部分场景符合交换律，不能说置换这个运算符合交换律。
那么置换符不符合结合律？
肯定是符合的，因为假设有三次置换。先做前两次置换的组合运算，再做第三次置换。先做第一次置换，再做后两次置换的组合，效果都是顺序三次置换。
正因为这样才有了置换的化简。
三 置换的化简方法
首先可以把置换进行以下的分类，大类是三类e、轮换和轮换组合。
| 类型 | 举例 | 描述 |
| e | e | 什么都不做，也叫恒等置换 |
| 轮换 | (1 2) | 互换 |
| (1 2 3) | 两个以上的元素轮换 | |
| 轮换组合 | (1 2) (3 4) | 各组之间没有相同位置、符合交换律,所以各组轮换的顺序可以任意调整 |
| (1 2)(2 3) | 各组之间存在相同位置，不符合交换律，所以在写法上不能调整轮换的顺序 |
(
1423
)
⋅
(
1432
)
⋅
(
123
)
⋅
(
132
)
(1 4 2 3)· (1 4 3 2) ·(1 2 3)·(1 3 2)
(1423)⋅(1432)⋅(123)⋅(132)
这就非常复杂，让人根本不知道进行了什么。
实际执行之后，和以下的置换结果是一样的
(1 3 4)
所以可以写成
(1 4 2 3)· (1 4 3 2) ·(1 2 3)·(1 3 2)= (1 3 4)
那么怎么化简啊？
其实很简单，但是要仔细。以上面的式子为例子：
首先看，1、2、3、4 四个位置都参与了置换
就一个个来，首先看位置1
(1 4 2 3) 位置1移动到了位置4
(1 4 3 2) 位置4移动到了位置3
(1 2 3)位置3移动到了位置1
(1 3 2)位置1移动到了位置3
所以最终位置1移动到了位置3
再看位置2
(1 4 2 3) 位置2移动到了位置3
(1 4 3 2) 位置3移动到了位置2
(1 2 3)位置2移动到了位置3
(1 3 2)位置3移动到了位置2
所以最终位置2不改变
再看位置3
(1 4 2 3) 位置3移动到了位置1
(1 4 3 2) 位置1移动到了位置4
(1 2 3)和(1 3 2)不影响位置4
所以最终位置3移动到了位置4
再看位置4
(1 4 2 3) 位置4移动到了位置2
(1 4 3 2) 位置2移动到了位置1
(1 2 3)位置1移动到了位置2
(1 3 2)位置2移动到了位置1
所以最终结果是：
位置1移动到了位置3
位置2不改变
位置3移动到了位置4
位置4移动到了位置1
那么最终化简之后，就是(1 3 4)
总结一下，就是以下几步：
1 找出所有发生改变的位置
2 对每个位置，从第一个轮换开始，到最后一个轮换结束，跟踪变化，记录最终位置
3 将起始位置和最终位置变成置换表达式
学废了吗？
化简后的置换表达式，如果是轮换组合，则这些组合是无关联的。
上面的计算方法很繁琐，我推荐一个矩阵连线法手动计算非常方便快捷。这个手动计算方法来自国内一本介绍李群的电子书。还是刚刚的例子：
(1 4 2 3)· (1 4 3 2) ·(1 2 3)·(1 3 2)
写出一个矩阵(严格来讲不能叫矩阵，因为矩阵不能残缺啊，哈哈)
1 4 2 3
1 4 3 2
1 2 3
1 3 2
再连线
每个数字去连接下面行的下一个位置，但是不要忘了最后一行的计算
所以有
1 连线到1，再下一个位置为3
3连线到1，再下一个位置为4
4连线到2，再下一个位置1
2连线到3，再下一个位置为2，不变
所以结果为(1 3 4)
四 轮换的乘方计算方法
所谓乘方，就是同样的轮换，重复几次
我可以用图形来表示，下图是轮换(1 2 3 4 5 6 7 8)前的状态
这个图是轮换后的状态
嗨，就是轮换一次转了1/8个圆周呗。转8次就转回原来位置呗。所以理解轮换，就是脑中想象一个圆盘，形成一个轮，然后就豁然开朗。
根据上面介绍的化简方法，计算轮换的乘方，就非常简单了。
比如这个复杂的轮换
(
1
11
4
2
3
8
5
12
6
10
7
9
)
(1\;11\;4\;2\;3\;8\;5\;12\;6\;10\;7\;9)
(111423851261079)
重复9次结果为
(
1
10
5
2
)
⋅
(
3
11
7
12
)
⋅
(
4
9
6
8
)
(1\;10\;5\;2)·(3\;11\;7\;12)·(4\;9\;6\;8)
(11052)⋅(311712)⋅(4968)
那是怎么计算出来的呢？
先把轮换表达式里的数字进行编号，也就是写出位置的索引
| 索引 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 位置 | 1 | 11 | 4 | 2 | 3 | 8 | 5 | 12 | 6 | 10 | 7 | 9 |
以位置1为例子，轮换1轮，到了位置11，轮换二轮到了位置14，依此类推，第9轮就到了位置10。
所以可以先对索引做加法
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
那么这个索引超出了12，因为是轮换，形成一个轮，那么就需要取余数
于是下面是取余结果，这就是新旧索引变化表
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 11 | 12 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
然后再去原索引表找位置，记录变换后的位置
| 原位置 | 1 | 11 | 4 | 2 | 3 | 8 | 5 | 12 | 6 | 10 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 原索引 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 新索引 | 10 | 11 | 12 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 新位置 | 10 | 7 | 9 | 1 | 11 | 4 | 2 | 3 | 8 | 5 | 12 | 6 |
删掉中间两行，得到位置变化表
| 原位置 | 1 | 11 | 4 | 2 | 3 | 8 | 5 | 12 | 6 | 10 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 新位置 | 10 | 7 | 9 | 1 | 11 | 4 | 2 | 3 | 8 | 5 | 12 | 6 |
所以置换表达式为
(
1
10
5
2
)
(
3
11
7
12
)
(
4
9
6
8
)
(1\;10\;5\;2)(3\;11\;7\;12) (4\;9\;6\;8)
(11052)(311712)(4968)
故(1 11 4 2 3 8 5 12 6 10 7 9)9= (1 10 5 2) (3 11 7 12)(4 9 6 8)
所以计算方法如下：
1 写下置换表达式各个位置的索引表
2 根据轮换次数，按模加法（先加再取余数），得到新索引
3 根据新索引，按索引表取新位置记录下来，得到新旧位置变化表
4 根据新旧位置变化表写出新的置换表达式
由此，可以得到三个轮换幂运算的三个规律
规律一：N个位置的轮换重复N次回到初始状态（常识哈，无需证明）
脑中想象一个轮在转，转一圈，刚好是N次。
规律二：N个位置轮换i轮，结果是互相独立的gcd(i,n)组轮换，gcd是最大公约数的意思。
规律三：轮换的逆运算是其表达式里位置的倒序
逆运算，写法上就是-1次方。从排列A到排列B，置换是M，从排列B再回到排列A，置换就是M-1.
五 轮换的其他规律
我们之所以大量研究轮换，无非是一点，轮换太重要了，在置换里占比太多了。先思考一个问题，我们都知道，置换就是三类：零置换、轮换组合、轮换。互换是最小的轮换，不单独考虑。
规律四：多个位置与同一个位置的置换形成轮换
(
a
b
)
(
a
c
)
(
a
d
)
…
…
(
a
n
)
=
(
a
b
c
d
…
…
n
)
(a\;b) (a\;c)(a\;d)……(a\;n)=(a\;b\;c\;d……n)
(ab)(ac)(ad)……(an)=(abcd……n)
根据置换的化简规则，依次分析
a 位置到b，后面的表达式里没有了b
b位置到了a，第二个表达式里位置再到c
c位置到了a，下一个表达式里到了d，以后再无改变
此后，每个位置的改变都只出现在两个表达式中
最后一个元素n，位置到了a
所以形成了一个a到n的轮换
这个规律特别重要，可以快捷运算很多式子
由这个规律可以计算互换与轮换的乘法
比如下面这两个式子：
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
⋅
(
5
6
)
=
(
1
2
3
4
6
7
9
)
(
5
6
)
⋅
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
=
(
1
2
3
4
5
7
8
9
)
(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)·(5\;6)=(1\;2\;3\;4\;6\;7\;\;9)\\ (5\;6)·(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)=(1\;2\;3\;4\;5\;7\;8\;9)
(123456789)⋅(56)=(1234679)(56)⋅(123456789)=(12345789)
先分析第一个式子，其实就是对轮换的分解
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
=
(
6
7
8
9
1
2
3
4
5
)
=
(
6
7
)
(
6
8
)
(
6
9
)
(
6
1
)
(
6
2
)
(
6
3
)
(
6
4
)
(
6
5
)
∴
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
(
5
6
)
=
(
6
7
)
(
6
8
)
(
6
9
)
(
6
1
)
(
6
2
)
(
6
3
)
(
6
4
)
(
6
5
)
(
5
6
)
=
(
6
7
)
(
6
8
)
(
6
9
)
(
6
1
)
(
6
2
)
(
6
3
)
(
6
4
)
=
(
6
7
8
9
1
2
3
4
)
=
(
1
2
3
4
6
7
8
9
)
(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)= (6\;7\;8\;9\;1\;2\;3\;4\;5)=\\ (6\;7) (6\;8) (6\;9) (6\;1) (6\;2) (6\;3) (6\;4) (6\;5)\\ ∴(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)(5\;6)\\ = (6\;7) (6\;8) (6\;9) (6\;1) (6\;2) (6\;3) (6\;4) (6\;5) (5\;6)\\ = (6\;7) (6\;8) (6\;9) (6\;1) (6\;2) (6\;3) (6\;4)\\ =(6\;7\;8\;9\;1\;2\;3\;4)\\ =(1\;2\;3\;4\;6\;7\;8\;9)
(123456789)=(678912345)=(67)(68)(69)(61)(62)(63)(64)(65)∴(123456789)(56)=(67)(68)(69)(61)(62)(63)(64)(65)(56)=(67)(68)(69)(61)(62)(63)(64)=(67891234)=(12346789)
第二个式子，也是对轮换的分解
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)= (5 6 7 8 9 1 2 3 4)
=(5 6) (5 7) (5 8) (5 9) (5 1) (5 2) (5 3) (5 4)
(5 6)·(1 2 3 4 5 6 7 8 9)= (5 6) (5 6) (5 7) (5 8) (5 9) (5 1) (5 2) (5 3) (5 4)
= (5 7) (5 8) (5 9) (5 1) (5 2) (5 3) (5 4)
=(5 7 8 9 1 2 3 4)
=(1 2 3 4 5 7 8 9)
规律五：类似以下这种链式置换，结果是顺序轮换的逆运算。
(a b)(b c)(c d)(d e)(e f)(f g)(g h)= (h g f e d c b a)
这个规律很容易明白。
A 会一直下去，到达h的位置
B 到a的位置，后续互换a再也不出现
C到了b的位置，后续互换b再也不出现
……
中间过程省略
一直到最后h互换到了g的位置。
所以组成了一个倒转的轮换。
六 置换凯来图
规律六：所有的互换都可以拆分为第一个元素和其他元素的置换。因为(a b)(a c)(a b)= (b c)
这里b、c的互换，可以通过a为中介做的，这也是凯来图的基础。以四个元素的置换为例子，我们知道所有的24种排列对应24种置换（包括零置换e）。最基础的互换是以下六种
(1 2) (1 3) (1 4) (2 3) (2 4) (3 4)
这六种中
(2 3) (2 4) (3 4)可以拆分为：
(2 3)=(1 2)(1 3)(1 2)
(2 4)=(1 2)(1 4)(1 2)
(3 4)=(1 3)(1 4)(1 3)
所以，所有24种置换都可以由(1 2) (1 3) (1 4)三种互换生成。而生成关系可以画成一张图，称为凯莱图。这个非常重要，是凯莱图的理论基础。
首先考虑只有一种置换，那么凯来图很简单，只有两个元素
E 、(1 2)
只有两种的置换，凯来图是六个元素组成的环。
如下图
注意：上图的路径是(1 2)与(1 3)交替进行。
这个置换凯莱图是更高阶的置换凯莱图的基础，因为更高级的置换是无数个这样的六边形组成的。
四个元素的凯来图是，也是有多个六边形组成的。但是凯莱图很难画出。因为每个点连接三个六边形。总共24个点。凯来图比较复杂，如下：
图中
黑色线条代表(1 2)
红色线条代表(1 3)
蓝色线条代表(1 4)
需要注意的是上图，有几个六边形特别难发现，这长得像核辐射符号。比如：
(1 3 4 2)->(2 3 4)->(1 4 2 3)->(1 4 2)->(2 4)->(1 2)(3 4)
那么总共有几个六边形呢？
我们可以这样计算，总共24个节点，每个六边形拥有6个节点。但是每个点属于三个六边形，也就是每个六边形实际上占有两个点。那么就是12个六边形。我们肉眼能直接看到7个六边形加上两个个辐射符号，再加上三个线轴形，也就是12个啊。
1个正六边形挨着六个不规则六边形
1个不规则六边形挨着1个正六边形，两个不规则六边形，1个核辐射，两个线轴
1个核辐射挨着3个不规则六边形，三个线轴
1个线轴挨着4个不规则六边形，两个核辐射
超过四元素的置换凯莱图特别复杂，所以用凯莱图计算置换会非常吃力，最好使用代数运算或者数值运算的方法进行计算。
不过对于大于四元素的置换凯来图也不必要那么慌，可以利用子群的方法去解开。比如从e出发的以(1 2) (1 3)交替前进的就是一个子群。
这个子群的表示方法为<(1 2) ,(1 3)>。(1 2)和 (1 3)是路径，也叫生成元。那么再看那三个线轴符号，也是红黑两种线组成，这个叫左陪集。左陪集的意思是由非子群内单位元开始，生成的集合。以横着的线轴为例子，用左陪集表示就是(1 2)(3 4)<(1 2),(1 3)>表示以(1 2)(3 4)出发，沿着路径(1 2)和(1 3)往前走，形成一个六边形。
所以这个复杂的置换群，可以拆分为一个子群和三个左陪集。
可以这样拆成四个：
<
(
1
2
)
,
(
1
3
)
>
(
1
4
)
<
(
1
2
)
,
(
1
3
)
>
(
2
4
)
<
(
1
2
)
,
(
1
3
)
>
(
3
4
)
<
(
1
2
)
,
(
1
3
)
>
<(1\;2),(1\;3)>\\ (1\;4)<(1\;2),(1\;3)>\\ (2\;4)<(1\;2),(1\;3)>\\ (3\;4)<(1\;2),(1\;3)>
<(12),(13)>(14)<(12),(13)>(24)<(12),(13)>(34)<(12),(13)>
七 置换代数运算
置换的代数运算就是去掉表示位置，纯粹用符号运算。以下就是置换代数运算的例子：
(
a
b
c
)
⋅
(
a
d
)
⋅
(
a
b
c
)
2
=
(
c
d
)
(
a
b
c
)
2
⋅
(
a
d
)
⋅
(
a
b
c
)
=
(
b
d
)
(a\;b\;c)·(a\;d)·(a\;b\;c)^2=(c\;d)\\ (a\;b\;c)^2· (a\;d)·(a\;b\;c)=(b\;d)
(abc)⋅(ad)⋅(abc)2=(cd)(abc)2⋅(ad)⋅(abc)=(bd)
这种运算，只需要把前面介绍的化简方法改成代数符号运算就可以了。
比如运算
(
a
b
c
)
⋅
(
a
d
)
⋅
(
a
b
c
)
2
(a\;b\;c)·(a\;d)·(a\;b\;c)^2
(abc)⋅(ad)⋅(abc)2
(
a
b
c
)
⋅
(
a
d
)
⋅
(
a
b
c
)
2
=
(
a
b
c
d
)
(
a
b
c
)
2
(a\;b\;c)·(a\;d)·(a\;b\;c)^2 =(a\;b\;c\;d)(a\;b\;c)^2
(abc)⋅(ad)⋅(abc)2=(abcd)(abc)2
利用乘方计算法则计算
(
a
b
c
)
2
=
(
a
c
b
)
∴
(
a
b
c
d
)
⋅
(
a
b
c
)
2
=
(
a
b
c
d
)
(
a
c
b
)
(a\;b\;c)^2=(a\;c\;b)\\ ∴(a\;b\;c\;d)·(a\;b\;c)^2 = (a\;b\;c\;d)(a\;c\;b)
(abc)2=(acb)∴(abcd)⋅(abc)2=(abcd)(acb)
再用最原始办法，写出四个元素的位置映射
a
−
>
b
−
>
a
b
−
>
c
−
>
b
c
−
>
d
d
−
>
a
−
>
c
a->b->a\\ b->c->b\\ c->d\\ d->a->c\\
a−>b−>ab−>c−>bc−>dd−>a−>c
所以结果为(c d)
另一个我就不详细写出了。
标签：24,markdown,置换,位置,12,互换,六边形,基本概念,轮换 来源： https://blog.csdn.net/m0_66201040/article/details/122599192
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。