标签：小凯 疑惑 正整数 NOIP min 金币 ax 本题

NOIP小凯的疑惑

题目描述：

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

输入输出

输入数据仅一行，包含两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。
输出文件仅一行，一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

题目分析

引理——裴蜀定理：对于任何整数\(a,b\) 和 \(d = gcd(a, b)\)来说，对于任意\(x,y\)来说，\(ax+by\)都是d的倍数，进而存在\(x,y\)使\(d = ax+by\)。
于是本题就可以得到以下结论：
①如果数\(t\)可以被\(a,b\)表示，那么\(t+a,t+b\)也一定可以
②存在整数\(x,y,1 = ax+by\)，且\(min(a,b)a|x|+min(a,b)b|y|\) 及其以上的数都可被\(a,b\)表示
③不妨假设\(a<b\),那么能用\(a,b\)表示的数也一定写成\(kb+ta\)的形式,其中\(a-1>=k>=0,t>=0\),并且\(k,t\)不同时为\(0\)
因此一种可行的办法是先遍历找到\(x,y\)，之后再回头验证比\(min(a,b)a|x|+min(a,b)b|y|\)小的数中不符合③中形式的最大的数
事实上，塞瓦维斯特定理已经告诉我们本题的答案是\(ab-a-b\)，所以本题是一个很吃结论的题，至于上述定理吧的证明可以直接上网查，与算法关系不大，这里就不多介绍。

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来源： https://www.cnblogs.com/OceanCT/p/15825616.html

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