标签：知识点 xi frac int 积分 考点 dx pi
定积分
本文将以 考点+一般的出题套路+一般解决方法 为脉络展开。
考点一：概念
- 要求曲边梯形的面积，但不好求
- 但是求矩形面积是方便的
- 划分成长条矩形（这里等不等分结果一样，所以采取等分）
- 一个长条矩形的面积 S i = Δ x i f ( ξ i ) S_i=\Delta x_if(\xi_i) Si=Δxif(ξi)
- n个长条矩形的面积 S = Σ i = 1 n [ Δ x i f ( ξ i ) ] S=\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)] S=Σi=1n[Δxif(ξi)]
- 但是求矩形面积毕竟不够精准，所以将结果推向极限,对曲边梯形进行无限的分割： S = l i m n → ∞ Σ i = 1 n [ Δ x i f ( ξ i ) ] S=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)] S=limn→∞Σi=1n[Δxif(ξi)]
- 其中，根据上图可以容易得到： Δ x i = b − a n \Delta x_i=\frac{b-a}{n} Δxi=nb−a， f ( ξ i ) = f ( a + ( b − a ) i n ) f(\xi_i)=f(a+\frac{(b-a)i}{n}) f(ξi)=f(a+n(b−a)i)，带入S的公式，就得到了定积分的定义。
- S = ∫ a b f ( x ) d x = l i m n → ∞ Σ i = 1 n [ Δ x i f ( ξ i ) ] = l i m n → ∞ Σ i = 1 n [ b − a n f ( a + ( b − a ) i n ) ] S=\int_a^bf(x)dx=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)]=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [\frac{b-a}{n}f(a+\frac{(b-a)i}{n})] S=∫abf(x)dx=limn→∞Σi=1n[Δxif(ξi)]=limn→∞Σi=1n[nb−af(a+n(b−a)i)]
- 这个考点一般以
求无限项相加的极限的形式出现，而且一般只考a=0，b=1 的情况： l i m n → ∞ Σ i = 1 n [ 1 n f ( i n ) ] = ∫ 0 1 f ( x ) d x lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})]=\int_0^1f(x)dx limn→∞Σi=1n[n1f(ni)]=∫01f(x)dx - 举个例子马上就懂了：
求以下极限： l i m n → ∞ Σ i = 1 n 1 1 − ( i n ) 2 1 n lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{i}{n})^2}}\frac{1}{n} limn→∞Σi=1n1−(ni)2 1n1
这是一道无限项求和的题目，夹逼定理也许能做，但是看到 i n \frac{i}{n} ni ,可以联想到定积分的定义。
使用定积分的定义，首先要找到 Σ \Sigma Σ后面的那个 1 n \frac{1}{n} n1，这道题里确实有 1 n \frac{1}{n} n1；然后找 f ( i n ) f(\frac{i}{n}) f(ni) ,具体在这道题里是 1 1 − ( i n ) 2 \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{i}{n})^2}} 1−(ni)2 1；都找到了，把 i n \frac{i}{n} ni 替换成 x x x 就可以带公式了，该极限就等于 ∫ 0 1 1 1 − x 2 d x \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx ∫011−x2 1dx.
- 其中找 1 n \frac{1}{n} n1不一定真的找原封不动的 1 n \frac{1}{n} n1，只要是 1 n \frac{1}{n} n1的等价无穷小都可以！
- 定积分的几何意义是面积的代数和，可正可负，不是面积之和；x轴上方是正的，下方是负的。
考点二：性质
-
可积必有界：f ( x ) f(x) f(x)可积，则 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]有界。 -
f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续，则 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx 存在。
-
f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]不连续，但是只有有限个第一类间断点，则 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx 存在。
-
上下限交换添负号
-
上下限相同积分为零
-
对0在任意区间积分得零
-
被积函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x) 大小关系确定后，相同区间上的积分大小关系不变
-
绝对值在内 ≥ \geq ≥绝对值在外： ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ≥ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ \int_a^b|f(x)| dx\geq |\int _a^bf(x)dx| ∫ab∣f(x)∣dx≥∣∫abf(x)dx∣
-
积分区间具有可拆性
-
积分中值定理： ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ， ξ ∈ [ a , b ] \int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)，\xi \in [a,b] ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)，ξ∈[a,b] 相当于找了个中间一点的值 ξ \xi ξ，把积分写成了长乘宽的形式。使用前提是 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续。注意是
闭区间！ -
如果想用开区间的积分中值定理，用拉格朗日中值定理简单证明一步就可以了:
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = F ( ξ ) ( b − a ) ， ξ ∈ ( a , b ) \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(\xi)(b-a)，\xi \in (a,b) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(ξ)(b−a)，ξ∈(a,b) -
遇到对称区间，立即检查被积函数是否（部分）是奇/偶函数。奇零偶倍是容易忽略的技巧。原理画个图就明白。
-
f ( x ) f(x) f(x)是周期T函数，则 ∫ a k x + T f ( x ) d x = k ∫ 0 T f ( x ) d x \int _a^{kx+T}f(x)dx=k\int_0^Tf(x)dx ∫akx+Tf(x)dx=k∫0Tf(x)dx
-
性质这组考点一般会这样考：让你比较几个积分的大小。
-
方法：这种题有一个基本方法：固定相同区间比较被积函数or固定被积函数比较区间，一般不用具体求出来，判定一下大于某个数或小于某个数就行了，这个数很可能是0。
-
可以先找题目这几个积分有什么相同点，看看能不能判断一下它想考什么知识点，比如给了三个相同的积分区间，而且都是关于原点对称的，可以大致往寄零偶倍的方向考虑，判断一下被积函数的奇偶。
考点三：积分上限函数
-
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x)=\int_a^xf(t)dt F(x)=∫axf(t)dt
-
只要是积分上限函数，一定是连续的。
-
若 f ( x ) f(x) f(x)连续，F(x)是f(x)的一个原函数。
-
若 f ( x ) f(x) f(x)有可去/跳跃间断点，则f(x)不存在原函数，F(x)存在且连续，但F(x)不可导。
-
积分上限函数求导。一共三种考法。
- 第一种被积函数很规矩，直接求
- 第二种 ∫ a x g ( x ) f ( t ) d t \int_a^xg(x)f(t)dt ∫axg(x)f(t)dt, 先提出和积分变量无关的因子g(x)，再求
- 第三种，类似于 ∫ a x f ( x − t ) d t \int_a^xf(x-t)dt ∫axf(x−t)dt，和积分变量无关的项包裹在被积函数里，不能提，则先将其变量代换掉，同时积分上下限随之改变，再求
考点四：定积分计算
1.牛莱
-
牛顿莱布尼茨公式：就是先不看积分限，求原函数，再带入积分限计算。所以使用牛莱公式说白了就是求不定积分。求不定积分的方法参考这篇博文里的计算部分，这里不再赘述。
-
关于使用牛莱公式什么时候要换限：求不定积分用了换元，则不要忘记同时换积分限。如果没有使用换元，也就是你的积分变量没变（即使你凑了微分），那就不要换积分限。
2.奇零偶倍
- 遇到对称区间，或者被积函数非常复杂（一般复杂的不会真的让你算），检查被积函数（某一部分的）奇偶性。
- 如果区间对称，被积函数有奇偶性，直接奇零偶倍
- 如果区间对称，被积函数没有奇偶性，那一般可以试试
区间再现代换，即令 x = a + b − t x=a+b-t x=a+b−t.代换之后积分上下限不变。然后使用 A = B = 1 / 2 ( A + B ) A=B=1/2(A+B) A=B=1/2(A+B)的原理解题。
打颗栗子： ∫ − 1 1 1 1 + 1 e x d x \int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx ∫−111+ex11dx 则让 x = − 1 + 1 − t x=-1+1-t x=−1+1−t
原式 = ∫ 1 − 1 1 1 + e t d ( − t ) = ∫ − 1 1 1 e t 1 + 1 e t d t = 1 2 ( ∫ − 1 1 1 1 + 1 e x d x + ∫ − 1 1 1 e t 1 + 1 e t d t ) \int_{1}^{-1}\frac{1}{1+{e^t}}d(-t)=\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^t}}{1+\frac{1}{e^t}}dt=\frac{1}{2}(\int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx+\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^t}}{1+\frac{1}{e^t}}dt) ∫1−11+et1d(−t)=∫−111+et1et1dt=21(∫−111+ex11dx+∫−111+et1et1dt)积分变量是t 还是x都无所谓，所以t可以写成x
= 1 2 ( ∫ − 1 1 1 1 + 1 e x d x + ∫ − 1 1 1 e x 1 + 1 e x d x ) = 1 2 ∫ − 1 1 1 d x = 1 =\frac{1}{2}(\int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx+\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}dx)=\frac{1}{2}\int_{-1}^11dx=1 =21(∫−111+ex11dx+∫−111+ex1ex1dx)=21∫−111dx=1
3.使用周期性（见性质）
- 遇到 n π n\pi nπ，等常见的周期，考虑一下周期性
- 有些题比较恶心，给你一个抽象函数让你自己推周期性，这时候可以根据题目猜一下可能的周期，再带进题目给的已知等式去试。
4.一些零散的结论
- ∫ 0 π / 2 f ( s i n x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( c o s x ) d x \int_0^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_0^{\pi/2}f(cosx)dx ∫0π/2f(sinx)dx=∫0π/2f(cosx)dx，区间不变，用区间再现就可以证明
- ∫ 0 π / 2 f ( s i n x ， c o s x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( c o s x , s i n x ) d x \int_0^{\pi/2}f(sinx，cosx)dx=\int_0^{\pi/2}f(cosx,sinx)dx ∫0π/2f(sinx，cosx)dx=∫0π/2f(cosx,sinx)dx，证明同上
- 以上两个公式的用法：就是区间再现的用法，相加除二
- ∫ 0 π x f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( s i n x ) d x \int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(sinx)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx，是课本例题
- 华莱士公式：偶数多乘
π
2
\frac{\pi}{2}
2π
∫ 0 π / 2 s i n n x d x = ∫ 0 π / 2 c o s n x d x = { n 是 奇 数 ， ( n − 1 ) ! ! n ! ! n 是 偶 数 ， ( n − 1 ) ! ! n ! ! π 2 \int_0^{\pi/2}sin^nxdx=\int_0^{\pi/2}cos^nxdx=\begin{cases}n是奇数，\frac{(n-1)!!}{n!!} \\n是偶数，\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2} \end{cases} ∫0π/2sinnxdx=∫0π/2cosnxdx={n是奇数，n!!(n−1)!!n是偶数，n!!(n−1)!!2π
考点五：反常积分
1.无限区间的反常积分
- 计算方法：
- 就是用牛莱。只不过之前带入常数，现在带入 ± ∞ \pm\infty ±∞, 也就是求一个极限。极限存在则反常积分收敛，极限不存在则反常积分发散。
- 反常积分在不知道是否收敛的情况下，不要用奇零偶倍
- 上下都是无穷，要拆成两部分算。
- 判断敛散性：
- 可以直接计算极限，极限存在就收敛
- 收敛+收敛=收敛
- 收敛+发散=发散
- 套用结论： ∫ a + ∞ 1 x p d x ， p \int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx，p ∫a+∞xp1dx，p大于1就收敛， 大于0小于等于1就发散
- 结论推广：分母比分子次数大，且超过一次，就收敛
- 结论推广： ∫ a + ∞ 1 x l n p x d x ， p \int_a^{+\infty}\frac{1}{xln^px}dx，p ∫a+∞xlnpx1dx，p大于1就收敛，小于1 就发散
- 套用另一个结论： ∫ a + ∞ x k e − λ x d x ， λ \int_a^{+\infty}x^ke^{-\lambda x}dx，\lambda ∫a+∞xke−λxdx，λ大于0就收敛，小于等于0就发散
- 大收小收，小发大发。这句话的正确打开方式是，看一下这个要判断的积分的被积函数，和上面两个结论哪个是同阶无穷小，这样二者就是同敛散的。这时 p/λ 落在哪个区间，就对应发散或收敛。
-
栗子： ∫ a + ∞ 1 x − l n ( 1 + x ) d x \int_a^{+\infty}\frac{1}{x-ln(1+x)}dx ∫a+∞x−ln(1+x)1dx，而 1 x 2 和 1 x − l n ( 1 + x ) d x 是 同 阶 无 穷 小 ， 二 者 具 有 相 同 敛 散 性 ， 此 时 p = 2 > 0 , 所 以 收 敛 。 \frac{1}{x^{2}}和\frac{1}{x-ln(1+x)}dx是同阶无穷小，二者具有相同敛散性， 此时p=2>0,所以收敛。 x21和x−ln(1+x)1dx是同阶无穷小，二者具有相同敛散性，此时p=2>0,所以收敛。
- ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞+∞e−x2dx=π
- ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π / 2 \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}/2 ∫0+∞e−x2dx=π /2
2.瑕积分
- 比较隐蔽，需要自己判断瑕点。
- 判断瑕点就是求这点的极限，如果极限是无穷就是瑕点
- 瑕点可能在内部
一道易错题： ∫ − 1 1 1 x d x \int_{-1}^1\frac{1}{x}dx ∫−11x1dx是发散的，因为按0拆开之后，只要有一部分是发散的，整个就是发散的。
- 判断敛散性
- a 是 瑕 点 ， ∫ a b 1 ( x − a ) p d x = { 收 敛 , 0 < p < 1 发 散 ， p ≥ 1 a是瑕点，\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}dx=\begin{cases}收敛,0<p<1\\发散，p \geq 1 \end{cases} a是瑕点，∫ab(x−a)p1dx={收敛,0<p<1发散，p≥1
- b 是 瑕 点 ， ∫ a b 1 ( b − x ) p d x = { 收 敛 , 0 < p < 1 发 散 ， p ≥ 1 b是瑕点，\int_a^b\frac{1}{(b-x)^p}dx=\begin{cases}收敛,0<p<1\\发散，p \geq 1 \end{cases} b是瑕点，∫ab(b−x)p1dx={收敛,0<p<1发散，p≥1
- 瑕点处的同阶无穷小同敛散。
考点六：定积分的应用
- 这部分我讲得不好，这个视频的P39-P42讲得非常好：https://www.bilibili.com/video/BV1Bh41127AU?p=35&spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click
看完了就去刷课后题巩固一下吧~
纯手打，如有疏漏错误欢迎在留言区指正。
标签：知识点,xi,frac,int,积分,考点,dx,pi 来源： https://blog.csdn.net/major_in_data_/article/details/122520805
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。