标签：归纳 定理 beta alpha 超穷 gamma 序数
超穷归纳
严格来讲，“超穷归纳”(transfinite induction)指代的是如何在序数上归纳地定义(类)函数的定理。
定理 1: (Transfinite Induction)
令A是一个序数，或者A等同于序数类\(\mathbf{On}\)，假定\(B
\subseteq A\)满足
那么\(B = A\)
这里，\(\alpha \subseteq B\)等同于\(\forall a < \alpha, a \in B\)。如果我们令\(B\)是一个类，那么这个条件就是在说“如果所有小于\(\alpha\)的元素都具有性质B，那么\(\alpha\)也有性质B”，也就是我们常见的归纳原则(Principle of Induction)。注意到我们既能对整个序数类做归纳，又能对某个单独的序数做归纳。
这个定理的证明很简单，因为序数具有良基性。那么\(<\)在序数上构成一个良序，那么我们用良序证明数学归纳法的方法也能套用到这上面来：
证明 2: 假定\(B \neq A\)，则取\(\alpha \in A\backslash B\)为\(A\backslash B\)中最小的元素，那么我们有\(\forall a < \alpha, a \in B\)，故\(\alpha \subseteq B\)，因此\(\alpha \in B\)，矛盾。
证毕
常用的超穷归纳是这个定理的一个推论。
定理 3:
令A是一个序数或者A等同于序数类\(\mathbf{On}\)，假定\(B \subseteq
A\)满足
- 若\(0 \in A\)，那么\(0 \in B\)
- 若\(\alpha + 1 \in A\)，\(\alpha \in B\)，那么\(\alpha + 1 \in B\)
- 若\(\alpha\)是一个极限序数，\(\alpha \in A\)并且\(\alpha \subseteq B\)，那么\(\alpha \in B\)
那么\(B = A\)
证明 4:
只需证明这三个条件蕴含超穷归纳原则的假设即可。对于\(\alpha
\in A\)，假定对所有的\(\beta < \alpha\)都有\(\beta \in
B\)成立。若\(\alpha = 0\)，那么根据1我们有\(\alpha \in B\)；若\(\alpha
= \alpha' + 1\)，那么因为\(\alpha' < \alpha\)，我们有\(\alpha \in
B\)成立；若\(\alpha\)是一个极限序数，那么直接成立。
证毕
把序数与我们在各种集合上的归纳联系起来的是下面两个定理：
定理 5: 每个良序集\((S, <)\)都同构于某个序数\((\alpha, <)\)
定理 6: (Well-ordering Theorem) 每个集合上都存在一个良序
同构是序理论的一个基本结论，它的证明需要用到replacement公理。
良序定理则是一个非常著名的定理，更著名的是良序定理，Zorn's lemma，以及选择公理这三者是等价的。事实上，一部分“超穷归纳”都可以直接用良序定理来完成，绕过对序数的讨论，比如zorn引理的证明。
引理 7: (Zorn's lemma) 对于一个非空偏序集\((Z, \leqslant)\)，如果Z中的每个链（全序子集）都在Z中有一个上界，那么Z中存在一个极大元素
证明 8:
假定Z中的每个链（全序子集）都在Z中有一个上界，现在要想办法构造一个极大元素。
-
根据良序定理，\(Z\)和某个序数\(\alpha\)同构。因此有一个\(\alpha\)到\(Z\)的同构\(f : \alpha \rightarrow Z\)
-
我们使用超穷归纳，遍历\(Z\)中全部的元素，并构造一个链，即构造一个函数\(g : \alpha \rightarrow P (Z)\)
归纳假设对所有\(\beta < \gamma\)，我们已经遍历过了\(f (\beta)\)，也就是\(g (\beta)\)已经定义好了，我们定义\(g (\gamma)\)为
\[ g (\gamma) := \left\{\begin{array}{ll} \{ f (\gamma) \} & \textrm{如果} \{ f (\gamma) \} \cup \bigcup_{\beta < \gamma} g (\beta) \textrm{构成一个全序}\\ \varnothing & 否则 \end{array}\right. \]那么我们有\(S = \bigcup_{\beta < \alpha} g (\beta)\)是一个链：对于任意\(f (\alpha), f (\beta) \in S\)，不妨设\(\alpha < \beta\)，我们有\(g (\alpha) = \{ f (\alpha) \}, g (\beta) = \{ f (\beta) \}\)，因为\(\{ f (\beta) \} \cup \bigcup_{\beta < \gamma} g (\beta)\)构成一个全序，所以有\(f (\alpha), f (\beta)\)可比较。
根据假设，\(S\)有一个上界，我们说这个上界就是一个极大元素。为什么？因为假定存在一个更大的元素，那么它必然也在\(S\)中，故只能等于上界。
证毕
极大理想定理
接下来，我们用超穷归纳证明代数里面的一个结论（一般是用zorn引理证明）。
定理 9: 令\(I \neq (1)\)是交换群R的一个真理想，那么存在一个极大理想\(\mathfrak{m} \subseteq R\)包含I
证明 10:
令\(F\)为所有包含I的真理想构成的集合。我们对它进行超穷归纳，设存在一个同构\(f
: \alpha \rightarrow F\)。
类似地，我们枚举\(F\)中的元素构造一个全序。即
\[ g (\gamma) := \left\{\begin{array}{ll} \{ f (\gamma) \} & \textrm{如果} \{ f (\gamma) \} \cup \bigcup_{\beta < \gamma} g (\beta) \textrm{关于} \subseteq \textrm{构成一个全序}\\ \varnothing & 否则 \end{array}\right. \]那么只需要证明
\[ U := \bigcup_{\gamma < \alpha} g (\gamma) \]是一个极大理想即可。首先它包含\(I\)，其次它是一个理想：显然，任何在\(U\)中的元素必然存在某个真理想中。对任何\(a, b \in U\)，我们有\(a - b \in U\)，以及\(\forall r \in R, r a \in U\)。其次，\(U\)是一个极大理想：\(U \neq (1)\)，否则\(1\)存在于某个\(F\)中的成员。并且对于任何更大的理想，它必然也包含在\(U\)中，故\(U\)是一个极大理想。
取\(\mathfrak{m}= U\)即可。
总结
实际上本文举的例子直接使用良序定理就可以，因为构造过程没有涉及到对序数的讨论。那么为什么还要用超穷归纳呢？可能是闲的吧。
标签：归纳,定理,beta,alpha,超穷,gamma,序数 来源： https://www.cnblogs.com/eadle/p/15773445.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。