标签：10 进制 位权 二进制 75 余数 基数 十进制

二进制，十进制，八进制，十六进制

• 1. 什么是计数制
• 2. 基本要素
• • 2.1. 什么是基数
  • 2.2. 什么是位权
  • 2.3. 位权需要基数来表示
  • 2.4. 二进制转换位十进制
  • 2.5. 十进制转换位二进制
  • 2.6. 十进制转换位八进制
  • 2.7. 十进制转换位十六进制

1. 什么是计数制

计数制，也称为“数制”，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。
即：计数体制,是指人们进行计数的方法和规则。
比如：计算机用的二进制；
人们生活中用的最多的十进制；
在历史上，中国曾经在重量单位上使用过16进制，
即：一斤合十六两，半斤等于八两，成语“半斤八两”就比喻彼此一样，不相上下（多含贬义）。

2. 基本要素

任何一种数制都包含两个基本要素：基数和位权。

2.1. 什么是基数

基数：可以理解成 基础数集，是一个集合。所有的数都是由这些集合中的数字排列组合成的。
计数时，每一位上的数值最多可以有n种可能。
比如，十进制的每一位有10种表达方式。即：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。再往后就满10了，这时候要向高一位进1。
也就是人们常说的满十进一，或者叫 逢十进一。即低位满十则向相邻高位进1。
相邻高低位上数值一样时，高位上数值是低位的10倍。

二进制是逢二进一，基数为2，包含0，1两个数值。
八进制是逢八进一，基数为8，包含0，1，2，3，4，5，6，7，一共8个。
逢十六进一是十六进制。基数为16，包含 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A（10），B（11），C（12），D（13），E（14），F（15），一共16个。
基数：顾名思义，几进制，基数就是几；几进制，就 满几进一

十进制，二进制，八进制，十六进制之间各数的对应关系：

2.2. 什么是位权

位权：位：位置；权：权重。是指数制中每一固定位置对应的单位值。
通俗讲 就是一个数在不同位置上代表的数值的大小多少？
例如：个位上的“1”，就表示1，而十位上的“1”，表示的确实 10个1。

例如：十进制数 598，5 代表 5 * 10²，9代表 9*10¹，8代表 8 10⁰。
598 = 5 * 10² + 910¹ + 8 *10⁰ = 500 + 90 + 8 。
以图为例：

2.3. 位权需要基数来表示

怎么用基数和位权将计数的方法和规则表示出来呢？
以二进制的一个数（01001011）为例：

位权的表示：以基数2为底，从右向左，由低到高，该基数的次幂从0开始，依次向左加一。

2.4. 二进制转换位十进制

那上面这个二进制数（01001011）转换为十进制该怎么算呢？

0 * 2⁷ + 1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1* 2¹ + 1 * 2⁰
= 0 * 128 + 1 * 64 + 0 * 32 + 0 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1* 2 + 1* 1
= 0 + 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1
= 64 + 8 + 2 + 1
= 75

2.5. 十进制转换位二进制

将十进制数 75 转换为二进制表示：

将75除2，一直除直商为0，将余数倒置，即得到二进制数 1001011。最高位补0，得到8位的二进制数，即为01001011.
为什么要将所有余数倒置？
所有进制中最低位，即右起第一位的权重都是 基数的0次幂，所有数值的0次幂都是1。
十进制转化为二进制，
即用十进制75除2，第一次除2，得到的余数1，权重是2的0次幂；代表1* 2⁰ = 1.
用所得的商37，再去除2，得到的余数1，权重是2的1次幂；代表 1* 2¹ = 2.
用所得的商18，再去除2，得到的余数0，权重是2的2次幂；代表 0* 2² = 0.
用所得的商9，再去除2，得到的余数1，权重是2的3次幂；代表 1* 2³ = 8.
用所得的商4，再去除2，得到的余数0，权重是2的4次幂；代表 0* 2⁴ = 0.
用所得的商2，再去除2，得到的余数0，权重是2的5次幂；代表 0* 2⁵ = 0.
用所得的商1，再去除2，得到的余数1，权重是2的6次幂；代表 1* 2⁶ = 64.
到这里商已为0，除法结束。
将每次除的余数代表的十进制数值相加：
1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 0 + 64 = 75

2.6. 十进制转换位八进制

同理，将十进制数转换成八进制也可以用此法
将十进制数 75 转换为八 进制表示：

将75除8，一直除直商为0，将余数倒置，即得到八进制数 113。
为什么要将所有余数倒置？
所有进制中最低位，即右起第一位的权重都是 基数的0次幂，所有数值的0次幂都是1。
十进制转化为八进制，
即用十进制75除8，第一次除8，得到的余数3，权重是8的0次幂；代表3* 8⁰ = 3.
用所得的商9，再去除8，得到的余数1，权重是8的1次幂；代表 1* 8¹ = 8.
用所得的商1，再去除8，得到的余数1，权重是8的2次幂；代表 1* 8² = 64.
到这里商已为0，除法结束。
将每次除的余数代表的十进制数值相加：
3 + 8 + 64 = 75

2.7. 十进制转换位十六进制

同上吧！

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来源： https://blog.csdn.net/zhangqq_0312/article/details/122300774

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