卡特兰数
模型
给定 n个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。
几何意义
对于每一个序列，我们定义
0：向右走一格
1：向左走一格
于是每一个长度为 2n 的序列都对应了坐标系中条从\((0, 0)\)走到\((n, n)\) 的路径
而所谓“任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数”的几何意就是这些路径不能经过红色的点
于是我们所要求的序列就是，不经过红色点的，从\((0, 0)\)走到\((n, n)\) 的路径的数量
如何求？
正难则反——转换为，求“从\((0, 0)\)走到\((n, n)\) 的所有路径”的数量与“经过红色点的，从\((0, 0)\)走到\((n, n)\) 的路径"的数量的差。
从\((0, 0)\)走到\((n, n)\) 的所有路径”的数量
\[C_{2n}^{n} \]经过红色点的，从\((0, 0)\)走到\((n, n)\) 的路径"的数量
对于每一条这样的路径，我们总可以将第一个经过红色点的路径沿\(y = x\)翻折，于是所求就转换成了从\((0, 0)\)到\((n - 1, n + 1)\)的路径数量，类似于零点存在定理，这样的路径一定会经过红色的点，所以答案就是\(C^{n - 1}_{2n}\)
结论
于是不经过红色点的，从\((0, 0)\)走到\((n, n)\) 的路径的数量就是
\[C^{n}_{2n} - C^{n-1}_{2n} = \frac{1}{n + 1} C^{n}_{2n}\\ = \frac{2n (2n - 1)...(n+1)}{(n + 1)n !} \\ = \frac{2n (2n - 1)...n}{n !} \]代码
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
int qmi(int a, int k, int p){
int ans = 1;
while (k){
if (k & 1) ans = (ll) ans * a % p;
a = (ll)a * a % p;
k >>= 1;
}
return ans;
}
int main(void){
int n;
cin >> n;
int a = n * 2, b = n;
int ans = 1;
//求Ca-b
for (int i = a; i > a - b; i -- ) ans = (ll)ans * i % mod;
for (int i = 1; i <= b; i ++ ) ans = (ll)ans * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
//还有一个系数1 / (n + 1)
ans = (ll)ans * qmi(n + 1, mod - 2, mod) % mod;
cout << ans;
return 0;
}
标签：int,ll,路径,ans,序列,2n,卡特兰 来源： https://www.cnblogs.com/tsrigo/p/15726878.html
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