标签:tau 1.14 映射 拓扑 cap 传递性 连续 空间 开集族
拓扑子空间开集族传递性
\(X\) 是拓扑空间,\(A\subset X\),则 \(A\) 上开集族
\[\tau_A = \{U\cap A~|~U \in \tau_X\} \]\(B\subset A\),则 \(B\) 上开集族
\[\begin{aligned} \tau_B &= \{V\cap B~|~ V \in \tau_A\}\\ &=\{ (U\cap A)\cap B~|~U\in \tau_X\}\\ &=\{ U\cap (A\cap B)~|~U\in \tau_X\}\\&=\{ U\cap B~|~U\in \tau_X\} \end{aligned} \]子空间的开集显然不一定是原空间的开集,但好像所有子空间拓扑都能有一样的形式,为啥这么定义啊
度量空间的子空间的子空间的子空间的...集合,也能从开球的角度来判断是不是开集,难道是为了这个吗?
连续映射在子空间的限制
\(f:X\to Y\) 是连续映射,\(A\subset X\),那么 \(f_A:A\to Y\) 是连续映射吗?
这取决于 \(A\)
设包含映射 \(i: A\to X\),那么 \(f_A = f\circ i\)
显然,只需要 \(i\) 是连续的,那么 \(f_A\) 就是连续的
包含映射 \(i\) 是连续的,因为 \(i^{-1}(U) = U\cap A\)
\(i\) 不连续,\(f_A\) 是否一定不连续?
\(f_A^{-1} = i^{-1}\circ f^{-1}\) ?
标签:tau,1.14,映射,拓扑,cap,传递性,连续,空间,开集族 来源: https://www.cnblogs.com/human-in-human/p/15704323.html
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