标签：cnt dist 拓扑 MST 第八 浙大 条边 顶点 数据结构
数据结构 第八讲 图（下）
一、最小生成树问题
是一棵树：无回路、|V|个顶点一定有|V|-1条边
是生成树：包含全部顶点，|V|-1条边都在图里
边的权重和最小
最小生成树<---->图连通
贪心算法
什么是贪？每一步都要最好的
什么是好？权重最小的边
需要约束：只能用图里面存在的边；只能正好用掉|V|-1条边；不能有回路
Prim算法——让一棵小树长大
dist[V] = E<s,V>或正无穷
parent[s] = -1;
void Prim()
{
MST = {s};
while(1)
{
V = 未收录顶点中dist最小者;
if(这样的V不存在) break;
将V收录进MST：dist[V] = 0;
for(V的每个邻接点W)
{
if(dist[W]!=0)
{
if(E<V,W> < dist[W])
{
dist[W] = E<V,W>;
parent[W] = V;
}
}
}
}
if(MST中收的顶点不到|V|个)
Error("生成树不存在");
}
时间复杂度 T = O（V）^2 适合稠密图
Kruskal算法——将森林合并成树
非常直接了当的贪心，每次在图里面找权重最小的边收进来
注意：不可形成回路！
void Kruskal(Graph G)
{
MST = { };
while(MST中不到|V|-1条边&& E中还有边)
{
从E中取一条权重最小的边E<V,W>; //最小堆
将E<V,W>从E中删除;
if(E<V,W>不在MST中构成回路) //并查集
将E<V,W>加入MST;
else
彻底无视E<V,W>;
}
if(MST中不到|V|-1条边) //图是不连通的
Error("生成树不存在");
}
时间复杂度：T = O（V logV）
课后练习
题1的解释图
二、拓扑排序
拓扑序：如果图中从v到w有一条有向路径，则v一定排在w之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序
获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序
AOV（网络）如果有合理的拓扑序，则必定是有向无环图（Directed Acyclic Graph,DAG）
初级算法（T = O(N^2)）
void TopSort() T=O(N^2)
{
for(cnt = 0;cnt < |V|;cnt++)
{
V = 未输入的入度为0的顶点;
if(这样的V不存在)
{
Error("图中有回路");
break;
}
输出V，或者记录V的输出序号;
for(V的每个邻接点W)
Indegree[W]--;
}
}
算法优化（T = O（V+E））
随时将入度变为0的顶点放到一个容器里
此算法还可用于检测此图是否为有向无环图（DAG）
void TopSort()
{
for(图中每个顶点V)
{
if(Indegree[V] == 0)
{
Enqueue(V,Q);
}
while(!Isempty(Q))
{
V = Dequeue(Q);
输出V，或者记录V的输出序号;
cnt++;
for(V的每个邻接点W)
{
if(--Indegree[W] == 0)
Enqueue(W,Q);
}
}
if(cnt!=|V|)
Error("图中有回路！");
}
}
三、拓扑排序应用：关键路径问题
AOE（Activity On Edge）网络：一般用于安排项目的工序
课后练习
选A，由图可知，从0到3的时间是12，是由0-2-3决定的，而不是0-1-3。而4也是由0-2影响的，所以加快以后，能提前完工。
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