分治 FFT
为了方便阅读，我们将 \(f_n\) 记为 \(f(n)\)。
\(f\) 满足递推式 \(f(n) = \sum_{i=1}^n f(n-i)g(i)\)，现在给你 \(n\) 还有 \(g(1),g(2)\dots g(n-1)\)，求出 \(f(0),f(1)\dots f(n-1)\)，其中 \(f(0) = 1\)（首项）。
原理
分治 + FFT。
重点讲解分治的过程。
我认为图示比较好理解（以 \(n=7\)，求 \(f(n)\) 为例）：
可以发现 \(f(n)\) 是一个卷积的形式，在图中可以表述为：
也就是红黄绿共七条线所对应的积的和。
我们可以利用分治分别将红、黄、绿对应的贡献加到 \(f(7)\) 上，这样就统计完了。
做法
-
利用分治先将左半段的 \(f\) 值处理出来。
-
然后让左半段的数组与 \(g\) 做 FFT，将贡献分别加到右半段对应的位置上。
结合代码理解：（因为这题取模，其实这是分治 NTT）
// Problem: P4721 【模板】分治 FFT
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4721
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 5000 ms
//
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define debug(x) cerr << #x << ": " << (x) << endl
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dwn(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
using pii = pair<int, int>;
using ll = long long;
#define int long long
inline void read(int &x){
int s=0; x=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-')x=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0' && ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0',ch=getchar();
x*=s;
}
/////////////////////////////////////////////////////////////////////
const int N=3e5+5, mod=998244353, rt=3;
ll fpow(ll x, int p, ll mod){
int res=1;
for(; p; p>>=1, x=x*x%mod) if(p&1) res=res*x%mod;
return res;
}
ll inv(ll x, ll mod){
return fpow(x, mod-2, mod);
}
int rev[N], tot=1, bit;
void NTT(ll *a, int type, int mod){
for(int i=0; i<tot; i++){
a[i]%=mod;
if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
}
for(int mid=1; mid<tot; mid<<=1){
ll w1=fpow(rt, (type==1? (mod-1)/(mid<<1): mod-1-(mod-1)/(mid<<1)), mod);
for(int i=0; i<tot; i+=mid*2){
ll wk=1;
for(int j=0; j<mid; j++, wk=wk*w1%mod){
auto x=a[i+j], y=wk*a[i+j+mid]%mod;
a[i+j]=(x+y)%mod, a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(type==-1){
for(int i=0; i<tot; i++) a[i]=a[i]*inv(tot, mod)%mod;
}
}
int n;
int f[N], g[N];
int A[N], B[N];
void conv(int *A, int *B){
NTT(A, 1, mod), NTT(B, 1, mod);
rep(i,0,tot-1) (A[i]*=B[i])%=mod;
NTT(A, -1, mod);
}
void divi(int l, int r){
if(l>=r) return;
int mid=l+r>>1;
divi(l, mid);
// init
tot=1, bit=0;
int len=r-l+1;
while(tot<=len-2) bit++, tot<<=1;
for(int i=0; i<tot; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
rep(i,0,tot-1) A[i]=B[i]=0;
rep(i,l,mid) A[i-l]=f[i];
rep(i,1,r-l) B[i-1]=g[i];
conv(A, B);
rep(i,mid+1,r) (f[i]+=A[i-l-1])%=mod;
divi(mid+1, r);
}
signed main(){
cin>>n; n--;
f[0]=1;
rep(i,1,n) read(g[i]);
divi(0, n);
rep(i,0,n) cout<<f[i]<<' ';
cout<<endl;
return 0;
}
标签：ch,int,ll,分治,FFT,数学,mod 来源： https://www.cnblogs.com/Tenshi/p/15658819.html
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