标签：frac int sum 笔记 dx dy 微分方程 相关 lambda
Basic微分方程
What is
形如\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)
求\(y=f(x,y)\)
阶：方程中导数的最高阶数
解：y=y(x)
通解：\(y=y(x,C_i)\),当参数C有n个（n为方程的阶）时，为通解
特解：略
变量可分离型求解
形如\(y'=f(x)g(y)\)
解法：
\[\frac{y'}{g(y)}=f(x)\\\int L=\int R\\ \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx \]转化为变量可分离型：
形如\(\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)\)
解法：
\[u=ax+by+c\\ \frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}\\ \frac{du}{dx}=a+bf(u)\\ \frac{du}{a+bf(u)}=dx\\ \int L=\int R \]齐次微分方程：
形如\(\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})\)
解法：
\[u=\frac{y}{x}\\y'=(ux)'\\Tips:u=u(x)\\\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\\u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u)\\分离得\int\frac{du}{\varphi(u)-u}=\int\frac{dx}{x} \]一阶线性微分方程
形如\(y'+p(x)y=q(x)\)
Key:\(p(x)\)的处理
Key:\((e^{\int p(x)dx})'=p(x)e^{\int p(x)dx}\)
BRN方程
\[y'+py=y^n \]Key:Assign $z=y^{(1-n)}
Advanced更高阶的微分方程处理
解的结构
齐次:
\[y=C_1y_1+C_2y_2 \]其中y1y2为互不相关的通解.
非齐次:
齐次的通解+非齐次的特解
基本情况的处理
-
有y'',y',x的:Assign\(u=y'\)
-
有y'',y',y的:Assign\(p=y',y''=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dp}{dy}=p\frac{dp}{dy}\)
一般情况的处理
齐次
形如
\[y''+py+qy=0 \]有特征方程\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)
针对该方程有几个处理方式:
-
\(\lambda\)有不同实数解时:通解为\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
-
有重根时\(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}\)
-
有虚数根\(\alpha\pm\beta i\)时\(y=e^{\alpha x}(C_1\sin\beta x+C_2\cos\beta x)\)
非齐次的特解
对于形如\(e^\lambda x\sum_m a_ix^i\)的附加项,有特解形式\(y^*=x^k\sum_m p_ix^ie^{\lambda x}\)
对于形如\(e^{\lambda x}(\sum_m a_ix^i\cos wx+\sum_n b_ix^i\sin wx)\)的,有特解形式\(y^*=x^k(\sum_{max(m,n)} u_ix^i\cos wx+\sum_{max(m,n)} v_ix^i\sin wx)\)
解释:
-
k为重叠系数,即\(\lambda\)和特征方程的根有几个重叠的.
-
\(\sum_m a_ix^i\)为最高次数为m的多项式.
-
\(p_i,u_i,v_i\)是待定系数,需要带入方程求.
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