标签:高等 Bbb circ beta 线性 alpha 代数 向量
#这是笔记,用来存档,没有自己的想法,也许内容还很trivial
设V是一个数域F上的非空集合,并且有映射:+:V×V→V,∘:F×V→V满足条件:
1.∀α,β,γ∈V(α+β)+γ=α+(β+γ)
2.∃0∈V0+α=α+0=α
3.∀α∈V,∃β∈Vα+β=β+α=0
4.α+β=β+α
5.∃1∈F1∘α=α
6.a,b∈F(a⋅b)∘α=a∘(b∘α)
7.a∘(α+β)=a∘α+a∘β
8.(a+b)∘α=a∘α+b∘α
则称(V,+,∘)构成数域F上的线性空间,称V中的元素为向量.
注.对于二元运算+,满足性质123,(V,+)是群,且满足性质4,构成交换群.
思考:V=C,映射+:V×V→V,(α,β)↦α+β;∘:C×V→V,(k,α)↦kα,验证(V,+,∘)是否构成线性空间.
命题:设(V,+,∘)是数域F上的线性空间,则:
1.V中的零向量是唯一的.
2.V中向量的负向量是唯一的.
3.k∘α=0↔k=0或α=0
4.−(k∘α)=(−k)∘α,其中−(k∘α)是(k∘α)的负向量.
思考:由线性空间的性质1235678推出性质4.
定义:设V是数域F上的线性空间,设α1,α2,⋯,αm∈V,k1,k2,⋯,km∈F,称i=1∑mkiαi为向量α1,α2,⋯,αm的线性组合.
定义:称向量α1,α2,⋯,αm的线性相关,若存在不全为0的数k1,k2,⋯,km∈F,使得i=1∑mkiαi=0.否则称向量组α1,α2,⋯,αm的线性无关.
注.1.α∈V线性相关↔α=0.
2.向量组整体线性无关→部分线性无关;部分线性相关→整体线性相关.
线性空间可以引入维数的概念,注意到并不是所有线性空间都是有限维的,比如(F[x],+,⋅)是无穷维的.
标签:高等,Bbb,circ,beta,线性,alpha,代数,向量
来源: https://blog.csdn.net/KXCAESAR/article/details/87939988
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