首页 > 其他分享> 文章详细

群论：群的定义与阿贝尔群

2021-11-30 16:00:25 阅读：422 来源： 互联网

标签：交换律定义满足逆元群论阿贝尔乘法

1. 群 (Group) 的定义：

群 $G=\{...,g,...\}$ 就是定义了二元运算 $\bullet$ （称为群乘法）且满足下列条件的非空集合：

(1) 封闭性：对 $\forall g,g'\in G$ ，满足 $g\bullet g'\in G$ .

(2) 结合律：对 $\forall g_1,g_2,g_3 \in G$ ，满足 $(g_1\bullet g_2)\bullet g_3 = g_1\bullet (g_2\bullet g_3)$ .

(3) 单位元：存在唯一单位元素 $g_e$ 使得对 $\forall g \in G$ 由 $g_e \bullet g=g\bullet g_e=g$ .

(4) 逆元：对 $\forall g \in G$ 存在唯一逆元 $g^{-1}\in G$ 使得 $g^{-1}\bullet g=g\bullet g^{-1}=g_e$ .

可以看到群运算不要求满足交换律 $g_1\bullet g_2 = g_2\bullet g_1$ ，额外满足交换律的群被称为阿贝尔群（Abel Group）或交换群。

根据群中元素的个数分为有限群和无限群。

2.群的讨论

可以看到群是一个集合，而且必须要定义群乘法。

我们可以自己构建一个有限群：

$G={0,1,2,3}$ , $g_1\bullet g_2=e^{\frac\pi2i(g_1+g_2)}$

可知G一定满足封闭性、乘法的结合律，且单位元就是 $g=0$ ，任意元素的逆元表示为 $g^{-1}=(4-g)\ \textup{mod}\ 4$ 。

它同时还满足交换律，所以是一个阿贝尔群。

上述这个有限群的乘法实质上还是加法，所以要注意群乘法并不是必须是数学上的乘法，它只是定义一种二元运算，可以不是乘法，也可以很复杂。

所以，还能定义一个有限模加群，即：

$G={0,1,2,3}$ , $g_1\bullet g_2=(g_1+g_2)\textup{mod}\ 4$

其性质与第一个定义的有限复数乘法群完全相同。

当然还有一些重要的无限群，如整数加群、非零实数乘法群等。

标签：交换律,定义,满足,逆元,群论,阿贝尔,乘法
来源： https://blog.csdn.net/a493823882/article/details/121633457

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

群论：群的定义与阿贝尔群

1. 群 (Group) 的定义：

2.群的讨论