标签：匹配 17 题解 Global 合法 括号 考虑 关键点 贪心

比赛质量比较不错。题不是非常难但也不很容易想出做法。

A. Anti Light's Cell Guessing

注意判断 \(1 \times 1\) 的情况。

B. Kalindrome Array

一种数一定是删完最优，且只会删两端第一次不匹配的两种数（否则一定不合法），暴力判断即可。

C. Keshi Is Throwing a Party

发现二分长度之后可以直接贪心选择是否加入。

D. Not Quite Lee

用 Bezout 定理，直接考虑 GCD \(2\) 的次幂即可（其他质因子一定满足）。

E. AmShZ and G.O.A.T.

比赛结束刚想出来。

发现不合法的只需要用 \(3\) 个数就能判定了（证明：写出合法需要满足的不等式限制，考虑枚举中间数 \(a_m\)，则第一个一定选 \(a_1\)，第三个一定选 \(a_{m+1}\)，那么如果这一步合法，下一步选择 \(a_2, a_{m+2}\) 一定合法）

枚举剩余序列的第一个数 \(a_i\)，因为只考虑相对大小，将它置为 \(0\)，则后面非 \(0\) 的数只有最多 \(\log V\) 个，那么直接贪心即可。

F. Mashtali: a Space Oddysey

我们构造使得每个邻边权值和为奇数的点都合法。这种问题可以考虑通过定向欧拉回路解决（因为欧拉回路保证出入度相等）。

如果只有 \(1\) 权边，那么可以直接用树上翻转路径/欧拉回路解决。

因为 \(2\) 权边不影响奇偶性，我们将每个点拆成 \(1\) 点和 \(2\) 点。

新建一个源点 \(s\)。

如果 \(1/2\) 点度数为 \(1\)，将其与 \(s\) 相连。如果度数都为 \(1\)，则将两者直接相连（这样保证差最大为 \(1\)）。这样一定可以满足条件。

注意判断图不连通。

G. AmShZ Wins a Bet

注意到我们删去的是一个合法括号串。考虑一对匹配的括号，形如 (s) 的形式，我们证明存在一组最优方案使 s 全部为空：

• 如果 \(s\) 只含 (，那么可以改变匹配的括号使 s 为空；
• 如果 \(s\) 含 )，那么我们不匹配这对括号答案字典序变小。

因此对于每个字符有两种决策：匹配一对极小的括号对并将中间的字符全部删去（需要能匹配上）、不匹配。

注意这相当于在 NFA 上走，所以贪心很难解决。

考虑直接 DP 一个后缀的最小答案。注意每步转移只加一个字符，因此可以直接维护一棵树，用倍增 hash 维护字典序。

好像也有更简单的做法，但是不会。

H. Squid Game

先考虑只有直上直下的链。

考虑一个贪心：从下往上，尽可能在浅的地方放关键点。

类似 NOI2020 Day2T2 那样，记录每条链的底端要求在什么位置必须放关键点，DP 即可。

注意对于 u-LCA-v 链，关键点越浅越优，所以上面的贪心没有满足这样的链，那么在 \(1\) 放个关键点即可。

复杂度可以做到 \(\mathcal O(n)\)。

I. Mashtali vs Atcoder

不会证结论，咕了。

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来源： https://www.cnblogs.com/RiverHamster/p/cf1610.html

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